§ 20. Геометрический смысл производной.
Связь между знаком производной функции и ее возрастанием или убыванием
Геометрический смысл производной: если функция y = f(x) имеет производную в точке x0, то тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции в точке (x0; f(x0)), равен производной функции в этой точке,
т. е. tg α = f'(x0).
Для того, чтобы найти тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс, проведенной к графику функции y = f(x) в точке (x0; f(x0)) нужно:
1. Найти производную функции f '(x).
2. Найти значение производной в точке x0, т. е. f '(х0). Полученное значение равно тангенсу угла наклона α касательной к оси абсцисс, т. е.
tg α = f '(x0).
3. Сравнить значение f '(x0) с нулем. Если f '(x0) > 0, то угол α острый и α = arctg f '(x0); если f '(x0) < 0, то угол α тупой и
α = π – arctg |f '(x0)|; если f '(x0) = 0, то α = 0.
Не в любой точке графика функции можно провести касательную. Например, в точке (0; 0) касательной к графику функции y = |x| не существует, значит, не существует производной в точке x0 = 0 функции y = |x|.
Признак возрастания функции. Если функция имеет положительную производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает на этом промежутке.
Признак убывания функции. Если функция имеет отрицательную производную в каждой точке некоторого промежутка, то она убывает на этом промежутке.
Для того, чтобы найти промежутки монотонности функции y = f(x), нужно:
1. Найти область определения функции D(f).
2. Найти производную функции f '(x).
3. Решить неравенства f '(x) > 0 и f '(x) < 0.
Знаки производной и соответствующие промежутки монотонности функции отметить на схеме.
4. Записать ответ: решения неравенства f '(x) > 0 — это промежутки возрастания данной функции; решения неравенства f '(x) < 0 — это промежутки убывания данной функции. Для непрерывных функций концы промежутков монотонности можно включить в ответ.
Точка максимума — точка, при переходе через которую производная функции меняет знак с «плюса» на «минус».
Слева от точки максимума функции y = f(x) значения производной положительны (функция возрастает), а справа — отрицательны (функция убывает).
Точка минимума — точка, при переходе через которую производная функции меняет знак с «минуса» на «плюс».
Слева от точки минимума функции y = f(x) значения производной отрицательны (функция убывает), а справа — положительны (функция возрастает).
Точки минимума и точки максимума называют точками экстремума функции.
Значение функции в точке минимума называется минимумом функции (обозначают fmin), а значение функции в точке максимума называется максимумом функции (обозначают fmax).
Минимумы и максимумы называют экстремумами функции.
Точки экстремума функции: x1 — точка минимума функции, x2 — точка максимума функции.
Экстремумы функции: fmin = f(x1) — минимум функции, fmax = f(x2) — максимум функции.
В точках экстремума касательная к графику функции либо параллельна оси абсцисс (точки x1, x2, x4 на рисунке), тогда производная в этой точке равна нулю, либо не существует (точка x3), это означает, что производная в этой точке не существует.
Признак точки максимума функции. Если функция f(x) непрерывна в точке x0, а производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через эту точку, то эта точка — точка максимума функции.
Признак точки минимума функции. Если функция f(x) непрерывна в точке x0, а производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через эту точку, то эта точка — точка минимума функции.
Для того, чтобы найти точки экстремума функции y = f(x), нужно:
1. Найти область определения функции D(f).
2. Найти производную функции f '(x).
3. Найти точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует.
4. Если функция непрерывна в точке x0, а производная при переходе через эту точку x0 меняет знак:
с «+» на «–», то эта точка — точка максимума функции;
с «–» на «+», то эта точка — точка минимума функции.
