§ 8. Расстояния
Пусть даны плоскость α и точка M вне её (см. рис.). Через точку M проведём прямую l, перпендикулярную плоскости α, и пусть A — точка пересечения прямой l с плоскостью α. Отрезок MA называется перпендикуляром к плоскости, проведённым из точки M, а точка A — основанием перпендикуляра. Соединим точку M ещё с какой-либо точкой B плоскости α. Отрезок MB называется наклонной к плоскости, проведённой из точки M, а точка B — основанием наклонной. Отрезок AB называется проекцией наклонной на плоскость α.
Свойства перпендикуляра и наклонных. Если из одной точки вне плоскости проведены к этой плоскости две наклонные, то:
а) наклонные, имеющие равные проекции, равны между собой;
б) та наклонная больше, проекция которой больше;
в) равные наклонные имеют равные проекции;
г) большая наклонная имеет большую проекцию.
Теорема. Перпендикуляр к плоскости, проведённый из некоторой точки, меньше любой наклонной к этой плоскости, проведённой из той же точки.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости.
Теорема. Расстояние от любой точки одной из параллельных плоскостей к другой плоскости одно и то же и равно длине их общего перпендикуляра.
Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, проведённого из какой-либо точки одной плоскости к другой плоскости. Все точки одной стены комнаты находятся на одинаковом расстоянии от противоположной стены. Это расстояние и есть ширина комнаты.
Теорема. Расстояние от любой точки прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости одно и то же и равно перпендикуляру, проведённому из какой-либо точки прямой к плоскости.
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется длина перпендикуляра, проведённого из какой-либо точки прямой к плоскости. Все точки края стола находятся на одном расстоянии от пола. Это расстояние и есть высота стола.
Теорема. Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра
! Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из них до плоскости, содержащей другую прямую и параллельную первой.
Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, можно действовать по-разному.
а) Можно построить отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный им обеим, и найти его длину.
б) Можно построить плоскость, которая содержит одну из прямых и параллельна другой. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от этой плоскости до другой прямой.
в) Можно построить две параллельные плоскости, каждая из которых содержит одну из скрещивающихся прямых и параллельна другой. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию между этими плоскостями.
г) Можно построить плоскость, перпендикулярную одной из скре щива ющихся прямых, и построить проекцию на неё другой прямой. Тогда искомое расстояние будет равно длине перпендикуляра, опущенного из точки, являющейся проекцией первой прямой на построенную плоскость, на проекцию другой прямой.
!! Диагональ куба делится плоскостью треугольника, сторонами которого служат диагонали граней куба, имеющие с рассматриваемой диагональю куба общую точку, в отношении 1 : 2.
