§ 1. Пространственные фигуры
Стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются пространственные фигуры.
Примеры некоторых пространственных фигур — призма (рис. 1), пирамида (рис. 2), цилиндр (рис. 3), конус (рис. 4), шар (рис. 5).
Представление пространственной фигуры на рисунке (невидимые линии делают штриховыми) называют изображением фигуры.
Многогранники — тела, ограниченные плоскими многоугольниками. Эти многоугольники называются гранями многогранника, их вершины — вершинами многогранника, а стороны — рёбрами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке справа изображён невыпуклый многогранник.
Призма
Призмой называется многогранник, две грани которого — равные n-угольники, а остальные n граней — параллелограммы.
Равные грани-многоугольники призмы называются её основаниями, а остальные грани — боковыми гранями. Рёбра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называются боковыми рёбрами.
В зависимости от количества сторон основания призмы отличают треугольную, четырёхугольную, пятиугольную и т. д. призмы. На рисунке справа изображена шестиугольная призма.
Совокупность боковых граней призмы образуют боковую поверхность. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней.
Прямая призма — призма, боковые грани которой являются прямоугольниками. Обычно, изображая прямую призму, её боковые рёбра проводят вертикально.
Призма прямая, если боковые рёбра перпендикулярны рёбрам основания призмы. Призма наклонная, если боковые рёбра не перпендикулярны рёбрам основания призмы.
Прямая призма называется правильной, если её основания являются правильными многоугольниками.
Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом.
Параллелепипед, как и призма, может быть и прямым, и наклонным (см. рис.).
Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольниками, называется прямоугольным параллелепипедом. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Задача 1. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед (см. рис.), измерения которого равны 2, 3 и 5. Найдите длину пространственной ломаной B1A1ADC.
Задача 2. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с измеренями 6, 15 и 20 см.
Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все грани куба — равные друг другу квадраты.
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого — многоугольник, а остальные являются треугольниками с общей вершиной.
На рисунке справа изображена пирамида TABCDE. Многоугольник ABCDE называют основанием пирамиды, треугольные грани ATB, BTC, CTD, DTE, ETA — боковыми гранями, а общую вершину T боковых граней — вершиной пирамиды. Обычно в записи обозначения пирамиды первая буква соответствует её вершине.
В зависимости от количества сторон основания пирамиды отличают треугольную, четырёхугольную, пятиугольную (см. рис. выше) и т. д. пирамиды.
Пирамида, основание которой — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий её вершину с центром основания, перпендикулярен любой прямой, проведённой в плоскости основания через этот центр, называется правильной.
Высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины пирамиды, называется апофемой пирамиды.
На рисунке справа изображена правильная четырёхугольная пирамида APQRS, отрезок AB — одна из её апофем.
Задача 3. На рисунке изображена правильная четырехугольная пирамида. Среди отрезков AD, AC, SR, SA, SO укажите отрезок, который является апофемой правильной четырехугольной пирамиды..
Теорема 1. У правильной пирамиды равны её:
а) боковые грани;
б) апофемы.
Теорема 2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра её основания и апофемы.
Цилиндр
Цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
При этом вращении одна сторона прямоугольника остаётся неподвижной, её называют осью цилиндра. Сторона, противолежащая оси, образует поверхность, которую называют боковой поверхностью цилиндра, а саму сторону — образующей цилиндра. Ещё две стороны прямоугольника при вращении образуют поверхности, которые являются равными кругами, эти круги называют основаниями цилиндра.
Конус
Конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, который называют осью конуса.
Второй катет описывает круг, который называют основанием конуса; неподвижную вершину треугольника, которая не принадлежит основанию, называют вершиной конуса. Гипотенуза при вращении образует поверхность, которую называют боковой поверхностью конуса, саму гипотенузу называют образующей конуса.
Шар
Шаром называется тело, полученное вращением круга вокруг своего диаметра. При этом вращении окружность описывает поверхность, которую называют сферой.
