§ 10. Вписанные и описанные четырехугольники
Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность. Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом многоугольник называется описанным около окружности. Центр вписанной окружности многоугольника находится в точке пересечения биссектрис его углов.
Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Сумма противоволожных углов четрырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.
Задача 1. Около четырехугольника ABCD описана окружность. Используя данные рисунка, найдите угол АВС.
Теорема (признак вписанного четырехугольника). Если сумма противоволожных углов четрырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
Следствия:
1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.
2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат.
3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная.
Теорема (свойство описанного четырехугольника). Суммы противоволожных сторон описанного четрырехугольника равны между собой.
А значит, периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон.
Теорема (признак описанного четырехугольника). Если суммы противоволожных сторон выпуклого четрырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Следствия:
1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба.
2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат.
3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте.
Для описанного многоугольника справедлива формула S=pr, где S — его площадь, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.
