§ 5. Числовые промежутки.
Объединение и пересечение числовых промежутков

Множество действительных чисел называют также числовой прямой.

В таблице приведены все подмножества множества действительных чисел или части числовой прямой, которые называют числовыми промежутками, а также их характеристики.

Пример 1. Выберите промежуток, изображенный на рисунке:

а) (−8; 7);           б) (−7; 8];           в) [−7; 8);           г) [−7; 8].

Видеорешение

Пример 2. Выберите промежуток, которому принадлежит число −3:

а) [−6; −3);           б) (–∞; –2);           в) [–2,7; +∞);           г) (−3; 0].

Видеорешение

Пересечение числовых промежутков

Рассмотрим пересечение множеств, которые являются числовыми промежутками. Например, найдем пересечение отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9]. Отрезок отметим штриховкой выше координатной прямой, а полуинтервал — ниже. Их пересечение, т. е. общая часть, — это часть прямой с двойной штриховкой (и сверху, и снизу). Так отмечен полуинтервал (5; 7].

Запишем пересечение отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9], используя знак пересечения множеств:

[2; 7] ∩ (5; 9] = (5; 7].

Объединение числовых промежутков

Найдем объединение двух числовых промежутков: отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9], т. е. часть прямой, закрытую двумя этими промежутками. Штриховкой сверху или снизу отмечена часть прямой от 2 до 9. Значит, объединение этих промежутков есть отрезок [2; 9].

Используя знак объединения множеств, объединение отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9]

можно записать так: [2; 7] U (5; 9] = [2; 9].