§ 1.  Степень с натуральным показателем и ее свойства

Степенью числа a с натуральным показателем n,  большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a

Если n = 1, то a1 = a.

Чтобы найти значение степени (чтобы возвести число в степень),  надо найти значение произведения одинаковых множителей.

Например, 43 = 4  ·  4  ·  4 = 64 (4 — основание  степени, 3 — показатель степени, 64 — значение степени).

Число а называют основанием степени, число nпоказателем степени.

Произведение степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

Частное степеней с одинаковыми основаниями

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются.

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде частного степеней с одинаковыми основаниями.

Cтепень частного равна частному степеней делимого и делителя с тем же показателем.

Степень степени

n)m — «степень (с показателем m) степени числа a с показателем n»

При возведении степени в степень основание степени остается прежним, а показатели перемножаются.

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде степени, основание которой тоже степень.

Степень частного

Верно и обратное утверждение: при делении степеней с одинаковыми показателями можно разделить основания степеней и полученный результат возвести в ту же степень.

Степень произведения

Верно и обратное утверждение: при умножении степеней с одинаковыми показателями можно умножить основания степеней и полученный результат возвести в ту же степень.

Cтепень произведения равна произведению степеней множителей с тем же показателем.

Пример 1. Представьте в виде степени произведение и назовите основание и показатель степени:

а)  3 · 3 · 3 · 3;   

б) (−3) · (−3) · (−3);   

в)  (−1/2) · (−1/2) ;

г) 0 · 0 · 0 · 0 · 0.

Видеорешение

Пример 3. Представьте в  виде степени произведение степеней:

а) 52 · 54;   

б) (3/7)5 · (3/7)6;   

в) m10 · m15.

Видеорешение

Пример 4. Представьте в виде степени частное степеней: 

а) 520 : 514;  

б ) (2/7)9 : (2/7)5

в) m18 : m15.

Видеорешение

Пример 6. Представьте в виде степени с основанием: 

а) 5 выражение (52)3;   

б) m выражение (m4)6;   

в) a выражение (a6)n.

Видеорешение

Пример 7. Представьте в виде степени с основанием 32 выражение: 

а) 93;    

б) 97;    

в) 81.

Видеорешение

Пример 8. Представьте в виде частного степеней степень:

а) (2/5)4;   

б) (3/7)n;   

в) (c/n)7.

Видеорешение

Пример 9. Представьте частное степеней в виде степени и найдите ее значение:

а) 104/54;   

б) 215/75

в) 2010/1010.

Видеорешение

Пример 10. Представьте в виде произведения степеней степень: 

а) (3 · 5)3;  

б) (3 · a)8;  

в) (c · d)n.

Видеорешение

Пример 13. Вычислите 

Видеорешение

Пример 2. Найдите значение степени:

а) 0,34;

б) (−5)5;

в) (2/3)3.

Видеорешение

Пример 5. Представьте в виде частного каких-либо степеней степень:

а) 47;  

б) k12;  

в) n3.

Видеорешение

Пример 11. Представьте произведение степеней в виде степени и найдите ее значение: 

а) 0,58 · 28;    

б) 253 · 0,43;   

в)  37 · (2/3)7.

Видеорешение

Пример 12. Вычислите 

Видеорешение