Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a
Если n = 1, то a1 = a.
Число а называют основанием степени, число n — показателем степени.
Чтобы найти значение степени (чтобы возвести число в степень), надо найти значение произведения одинаковых множителей.
Например, 43 = 4 · 4 · 4 = 64 (4 — основание степени, 3 — показатель степени, 64 — значение степени).
Пример 1. Представьте в виде степени произведение и назовите основание и показатель степени:
а) 3 · 3 · 3 · 3; б) (−3) · (−3) · (−3); в) (−1/2) · (−1/2) ; г) 0 · 0 · 0 · 0 · 0.
Произведение степеней с одинаковыми основаниями
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются.
Пример 3. Представьте в виде степени произведение степеней:
а) 52 · 54; б) (3/7)5 · (3/7)6; в) m10 · m15.
Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями.
Частное степеней с одинаковыми основаниями
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.
Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде частного степеней с одинаковыми основаниями.
Пример 4. Представьте в виде степени частное степеней:
а) 520 : 514; б ) (2/7)9 : (2/7)5; в) m18 : m15.
Пример 5. Представьте в виде частного каких-либо степеней степень:
а) 47; б) k12; в) n3.
Степень степени
(аn)m — «степень (с показателем m) степени числа a с показателем n»
При возведении степени в степень основание степени остается прежним, а показатели перемножаются.
Пример 6. Представьте в виде степени с основанием:
а) 5 выражение (52)3; б) m выражение (m4)6; в) a выражение (a6)n.
Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде степени, основание которой тоже степень.
Степень частного
Cтепень частного равна частному степеней делимого и делителя с тем же показателем.
Пример 8. Представьте в виде частного степеней степень:
а) (2/5)4; б) (3/7)n; в) (c/n)7.
Верно и обратное утверждение: при делении степеней с одинаковыми показателями можно разделить основания степеней и полученный результат возвести в ту же степень.
Пример 9. Представьте частное степеней в виде степени и найдите ее значение:
а) 104/54; б) 215/75; в) 2010/1010.
Степень произведения
Cтепень произведения равна произведению степеней множителей с тем же показателем.
Пример 10. Представьте в виде произведения степеней степень:
а) (3 · 5)3; б) (3 · a)8; в) (c · d)n.
Верно и обратное утверждение: при умножении степеней с одинаковыми показателями можно умножить основания степеней и полученный результат возвести в ту же степень.
Пример 11. Представьте произведение степеней в виде степени и найдите ее значение:
а) 0,58 · 28; б) 253 · 0,43; в) 37 · (2/3)7.
Пример 12. Выберите верное равенство:
а) a12 : a4 = a8; б) a2· a4 = (2a)8; в) a32 : a8 = a4; г) (а3)2 = а5.
Пример 13. Выберите верное равенство:
а) (n5)2 = 2n5; б) n3 · n5 = n8; в) n16 : n8 = n2; г) n2 · n8 = n16.
Пример 14. Вычислите
Пример 15. Вычислите