Любое число а, не равное нулю, в нулевой степени равно единице.
Определение степени числа с целым отрицательным показателем
Степенью числа с целым отрицательным показателем называется число, обратное cтепени с тем же основанием и противоположным показателем.
Пример 3. Представьте в виде степени с основанием 2 числа: 8; 4; 2; 1; 1/2; 1/4; 1/8.
Пример 4. Представьте в виде степени с основанием 1/3 числа: 27; 9; 3; 1/3; 1/9; 1/27.
Чтобы вычислить значение степени с целым отрицательным показателем, нужно: (см. видео)
1) Назвать основание степени.
2) Записать число, ему обратное, — новое основание.
3) Назвать показатель степени.
4) Назвать число, ему противоположное, и записать его в показатель степени с новым основанием.
5) Найти значение степени с полученным натуральным показателем.
Пример 5. Выберите верное равенство:
а) 5−1 = −5; б) 5−1 = 1/5; в) 5−1 = 5; г) 5−1 = 0,5.
Пример 6. Выберите верное равенство:
а) 7−1 = 0,7; б) 7−1 = −7; в) 7−1 = 1/7; г) 7−1 = 7.
Пример 7. Выберите верное равенство:
а) 10−4 = 10 000; б) 10−4 = 0,0001; в) 10−4 = 1/40; г) 10−4 = −40.
Пример 8. Выберите верное равенство:
а) 10−3 = −30; б) 10−3 = 1/30; в) 10−3 = 0,001; г) 10−3 = 1000.
Пример 9. Найдите значение степени 0,3−1.
Степень положительного числа с любым целым показателем есть число положительное.
Степень отрицательного числа с четным показателем есть число положительное, а с нечетным — отрицательное.
Пример 13. Найдите значение выражения (−3)−3 + 6−2 · (1/2)−2.
Пример 14. Найдите значение выражения 7−2 + 5.
Пример 15. Найдите значение выражения 5−2 + 7.
Свойства степени с целым показателем
Для a ≠ 0, целых m и n:
1. am · an = am + n
2. am : an = am − n
3. (am)n = amn.
Для a ≠ 0, b ≠ 0, целого n:
4. (a : b)n = an : bn
5. (a · b)n = anbn
Пример 16. Найдите значение выражения 7−9 : 7−8.
Пример 17. Представьте выражение в виде степени 520 : 5−4 · 57.
Пример 18. Представьте выражение в виде степени (m18)−2 · m20 : m−20.
Пример 19. Найдите значение выражения 16−3 : 2−9.
Пример 20. Найдите значение выражения 81−3 : 3−10.
Пример 21. Представьте в виде степени с основанием a выражение (а−2)−4 · (а2)−3.
Пример 22. Вычислите: (−3/5)2 · 3−2.
Пример 23. Найдите значение выражения (273 · 3−8)−1.
Пример 24. Найдите значение выражения (5−8 · 1253)−1.
Пример 25. Доказать, что выражение не зависит от переменной n.