Длина окружности и площадь круга
Теорема. Длина окружности радиуса R находится по формуле C = 2πR.
▪ Задача 1. Длина окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равна 8π см. Найдите периметр треугольника.
Теорема. Площадь круга радиуса R находится по формуле S = πR2.
▪ Задача 2. Радиус круга равен 7 см. Площадь этого круга равна:
а) 14π см2; б) 49π см2; в) 7 см2; г) 70 см2.
Длина дуги окружности и площадь сектора круга
Длина l дуги, содержащей n°, равна
Сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, соединяющей концы радиусов. Радиус круга называется радиусом сектора, указанная дуга — дугой сектора, центральный угол между радиусами, ограничивающими сектор, — углом сектора.
При вычислении длины дуги допустимы обе следующие записи: и
При вычислении площади сектора допустимы обе следующие записи: и
Длина дуги и площадь сектора прямо пропорциональны градусной мере дуги и угла сектора. Поэтому длина дуги так относится к длине окружности, как градусная мер дуги относится к градусной мере окружности. Площадь сектора так относится к площади круга, как градусная мера угла сектора относится к градусной мере полного угла, т. е. справедливы пропорции:
Замечание. В третьей пропорции lдуги — это длина дуги сектора.
▪ Задача 3. Площадь круга равна 120 см2. Найдите площадь сектора с углом 90°.
а) 60 см2; б) 40 см2; в) 30 см2; г) 90 см2.
▪ Задача 4. Около квадрата с диагональю, равной 12 см, описана окружность. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.
▪ Задача 5. Дана окружность, длина которой равна 12π см. Найдите площадь сектора круга, ограниченного окружностью, если угол сектора равен 40°.
▪ Задача 6. Из круга радиуса 6 вырезан круговой сектор с центральным углом 120°. Найдите площадь оставшейся части круга.