- Математика-5
- Глава 1. Натуральные числа
- § 1. Как решать задачу
- § 2. Натуральные числа и нуль. Чтение и запись натуральных чисел
- § 3. Сравнение натуральных чисел
- § 4. Точка, прямая, луч, отрезок, плоскость
- § 5. Измерение отрезков. Длина отрезка
- § 6. Изображение натуральных чисел на координатном луче
- § 7. Округление натуральных чисел
- § 8. Сложение и вычитание натуральных чисел
- § 9. Умножение и деление натуральных чисел
- § 10. Степень числа с натуральным показателем
- § 11. Деление с остатком
- § 12. Делители числа. Кратные числа. Наименьший общий делитель и наименьшее общее кратное
- § 13. Признаки делимости
- § 14. Простые и составные числа. Разложение числа на простые множители
- Глава 2. Выражения. Уравнения
- Глава 3. Обыкновенные дроби
- § 1. Дробные числа. Обыкновенные дроби
- § 2. Деление и дроби. Основное свойство дроби
- § 3. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
- § 4. Сравнение дробных чисел
- § 5. Сложение и вычитание обыкновенных дробей
- § 6. Сложение и вычитание смешанных чисел
- § 7. Умножение дробных чисел
- § 8. Деление дробных чисел
- § 9. Задачи на все действия с дробными числами
- § 10. Задачи на применение дробей
- § 11. Параллельные и перпендикулярные прямые
- § 12. Ломаная. Многоугольник. Периметр многоугольника
- § 13. Площадь. Единицы измерения площади
- § 14. Площадь прямоугольного треугольника и некоторых видов многоугольников
- § 15. Среднее арифметическое нескольких чисел
- § 16. Линейные и столбчатые диаграммы
- § 17. Прямоугольный параллелепипед. Куб
- § 18. Объём. Единицы измерения объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда
- Глава 1. Натуральные числа
- Математика-6
- Глава 1. Десятичные дроби
- § 1. Десятичная запись дробей. Разряды десятичных дробей
- § 2. Сравнение десятичных дробей. Округление десятичных дробей
- § 3. Изображение десятичных дробей на координатном луче
- § 4. Сложение и вычитание десятичных дробей
- § 5. Умножение и деление десятичной дроби на разрядную единицу. Умножение десятичной дроби на разрядные единицы: 10, 100, 1000 и т. д.
- § 6. Умножение десятичных дробей
- § 7. Деление десятичной дроби на натуральное число
- § 8. Деление на десятичную дробь
- § 9. Конечные и бесконечные десятичные дроби
- § 10. Преобразования числовых выражений с обыкновенными и десятичными дробями
- Глава 2. Проценты и пропорции
- Глава 3. Множество
- Глава 4. Рациональные числа
- § 1. Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая
- § 2. Модуль числа. Противоположные числа. Множество целых чисел. Множество рациональных чисел
- § 3. Сравнение рациональных чисел
- § 4. Сложение рациональных чисел
- § 5. Вычитание рациональных чисел
- § 6. Законы сложения рациональных чисел
- § 7. Умножение рациональных чисел
- § 8. Деление рациональных чисел
- § 9. Задачи на все действия с рациональными числами
- Глава 5. Координатная плоскость
- Глава 6. Наглядная геометрия
- Глава 1. Десятичные дроби
- Алгебра-7
- Глава 1. Степень с натуральным и целым показателями
- Глава 2. Выражения и их преобразования
- § 4. Числовые выражения и выражения с переменными
- § 5. Тождество
- § 6. Одночлен
- § 7. Действия с одночленами
- § 8. Многочлен
- § 9. Сложение и вычитание многочленов
- § 10. Умножение и деление многочлена на одночлен
- § 11. Умножение многочленов
- § 12. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений
- § 13. Формулы сокращенного умножения: произведение суммы и разности двух выражений
- § 14. Разложение многочлена на множители
- Глава 3. Линейные уравнения. Линейные неравенства. Линейная функция
- Глава 4. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными
- Геометрия-7
- Глава 1. Начальные понятия геометрии
- Глава 2. Признаки равенства треугольников
- Глава 3. Параллельность прямых на плоскости
- Глава 4. Сумма углов треугольника
- § 19. Сумма углов треугольника
- § 20. Внешний угол треугольника
- § 21. Соотношения между сторонами и углами треугольника
- § 22. Неравенство треугольника
- § 23. Признаки равенства прямоугольных треугольников
- § 24. Свойство точек биссектрисы угла
- § 25. Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
- § 26. Расстояние между параллельными прямыми
- Глава 5. Задачи на построение
- Алгебра-8
- Глава 1. Квадратные корни и их свойства. Действительные числа
- § 1. Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень
- § 2. Множество иррациональных чисел. Множество действительных чисел
- § 3. Свойства квадратных корней
- § 4. Применение свойств квадратных корней
- § 5. Числовые промежутки. Объединение и пересечение числовых промежутков
- § 6. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной. Решение двойных неравенств
- Глава 2. Квадратные уравнения
- § 7. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений
- § 8. Формулы корней квадратного уравнения
- § 9. Теорема Виета
- § 10. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители
- § 11. Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений
- § 12. Решение целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям
- Глава 3. Квадратичная функция
- Глава 4. Функции
- Глава 1. Квадратные корни и их свойства. Действительные числа
- Геометрия-8
- Алгебра-9
- Геометрия-9
- Глава 1. Соотношения в прямоугольном треугольнике
- § 1. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла
- § 2. Решение прямоугольного треугольника
- § 3. Тригонометрические формулы
- § 4. Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла
- § 5. Формулы площади треугольника и площади параллелограмма
- § 6. Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике
- Глава 2. Вписанные и описанные окружности
- Глава 3. Теорема синусов, теорема косинусов
- Глава 4. Правильные многоугольники
- Глава 1. Соотношения в прямоугольном треугольнике
- Алгебра-10
- Глава 1. Тригонометрия
- § 1. Единичная окружность. Градусная и радианная мера произвольного угла
- § 2. Определение синуса и косинуса произвольного угла
- § 3. Определение тангенса и котангенса произвольного угла
- § 4. Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
- § 5. Функции y = sin x и y = cos x. Их свойства и графики
- § 6. Функции y = tg x и y = ctg x. Их свойства и графики
- § 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
- § 8. Тригонометрические уравнения
- § 9. Формулы приведения
- § 10. Синус, косинус, тангенс суммы и разности
- § 11. Формулы двойного аргумента
- § 12. Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
- Глава 2. Корень n-й степени из числа
- Глава 3. Производная
- Глава 1. Тригонометрия
- Геометрия-10
- Экзамен, 9 класс (2024)
§ 19. Нахождение длины окружности и площади круга
Длина окружности и площадь круга
Теорема. Длина окружности радиуса R находится по формуле C = 2πR.
▪ Задача 1. Длина окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равна 8π см. Найдите периметр треугольника.
Теорема. Площадь круга радиуса R находится по формуле S = πR2.
▪ Задача 2. Радиус круга равен 7 см. Площадь этого круга равна:
а) 14π см2; б) 49π см2; в) 7 см2; г) 70 см2.
Длина дуги окружности и площадь сектора круга
Длина l дуги, содержащей n°, равна
Сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, соединяющей концы радиусов. Радиус круга называется радиусом сектора, указанная дуга — дугой сектора, центральный угол между радиусами, ограничивающими сектор, — углом сектора.
При вычислении длины дуги допустимы обе следующие записи: и
При вычислении площади сектора допустимы обе следующие записи: и
Длина дуги и площадь сектора прямо пропорциональны градусной мере дуги и угла сектора. Поэтому длина дуги так относится к длине окружности, как градусная мер дуги относится к градусной мере окружности. Площадь сектора так относится к площади круга, как градусная мера угла сектора относится к градусной мере полного угла, т. е. справедливы пропорции:
Замечание. В третьей пропорции lдуги — это длина дуги сектора.
▪ Задача 3. Площадь круга равна 120 см2. Найдите площадь сектора с углом 90°.
а) 60 см2; б) 40 см2; в) 30 см2; г) 90 см2.
▪ Задача 4. Около квадрата с диагональю, равной 12 см, описана окружность. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.
▪ Задача 5. Дана окружность, длина которой равна 12π см. Найдите площадь сектора круга, ограниченного окружностью, если угол сектора равен 40°.
▪ Задача 6. Из круга радиуса 6 вырезан круговой сектор с центральным углом 120°. Найдите площадь оставшейся части круга.
