§ 17. Свойства и график функции           , где k ≠ 0

Формула              , где k ≠ 0, задает функцию, которая называется обратной пропорциональностью.

Свойства и график функции

1. Область определения функции. Так как дробь   имеет смысл при всех значениях x, кроме нуля, то D = (–∞; 0) ∪ (0; +∞). 

 

Графически это означает, что график функции    не пересекает ось ординат.

2. Множество значений функции. Так как k ≠ 0, то      ≠ 0, значит, y ≠ 0, т. е. E = (–∞; 0) ∪ (0; +∞).

Графически это означает, что график функции не пересекает ось абсцисс. функции

3. Нули функции. Так как y ≠ 0, то функция              не имеет нулей.

4. Промежутки знакопостоянства функции.

Если k > 0, то y > 0 при x ∈ (0; +∞), y < 0 при x ∈ (−∞; 0).

Если k < 0, то y > 0 при x ∈ (−∞; 0), y < 0 при x ∈ (0; +∞).

5. График функции.График обратной пропорциональности называется гиперболой. Гипербола имеет две ветви. Ветви гиперболы симметричны относительно начала координат.

Если k > 0, то график обратной пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях.

Если k < 0, то график обратной пропорциональности расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

 ▪ Пример 1. Выберите функцию, графиком которой является гипербола:

 

 

Видеорешение

 ▪ Пример 2. Для функции f (x) =        верным является равенство: 

а) f (2) = 10;               б) f (2) = 5;           в) f (2) = 100;               г) f (2) = 1.

Видеорешение

 ▪ Пример 3. Известно, что график функции             проходит через точку                      Постройте график этой функции.

Видеорешение

6. Промежутки монотонности функции.

Если k > 0, то с увеличением значений аргумента значения функции уменьшаются на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞), т. е. функция убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞).

Если k < 0, то с увеличением значения аргумента значения функции увеличиваются на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞), т. е. функция        возрастает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞).