§ 15. Линейные уравнения с одной переменной
Равенство с переменной называется уравнением.
Корнем уравнения называется значение переменной, которое обращает это уравнение в верное числовое равенство.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Линейные уравнения
Уравнение вида ax = b, где a и b — числа, а x — переменная, называется линейным.
Линейное уравнение с одной переменной ax = b может:
• иметь единственный корень (если a ≠ 0, то x = — корень уравнения);
• не иметь корней (если a = 0, b ≠ 0, то 0 · x = b);
• иметь бесконечно много корней (если a = 0, b = 0, то 0 · x = 0, то есть x — любое число).
▪ Пример 1. Из данных линейных уравнений выберите уравнение, не имеющее корней:
а) 3х = 0; б) 0 · х = 0; в) 0 · х = 7; г) –2х = 8.
▪ Пример 2. Из данных линейных уравнений выберите уравнение, имеющее бесконечно много корней:
а) 2х = 0; б) 0 · х = 0; в) 0 · х = 5; г) –3х = 6.
Равносильные уравнения
Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.
Чтобы получить уравнение,равносильное данному, можно:
• прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, т. е. перенести слагаемое из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
• разделить (умножить) обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
• выполнить тождественные преобразования в левой и правой частях уравнения.
Решение уравнений, сводящихся к линейным
Чтобы решить уравнение, сводящееся к линейному, можно:
1) Раскрыть скобки.
2) Привести подобные слагаемые.
3) Перенести слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без переменной — в другую.
Поменять знаки перенесенных слагаемых на противоположные!
4) Привести подобные слагаемые.
5) Решить полученное линейное уравнение.
▪ Пример 3. Решите уравнение 11 − 3х = 1,9.
▪ Пример 4. Решите уравнение 3х − 1 = 4х + 2.
▪ Пример 5. Решите уравнение 4(3 − х) − 11 = 7(2х − 5).
▪ Пример 6. Решите уравнение
▪ Пример 7. Решите уравнение
▪ Пример 8. Решите уравнение (х + 4)2 − (х − 8)2 = 32.
