§ 13. Квадратичная функция и ее свойства
Функция вида y = ax2 + bx + c, где а, b и с — некоторые числа, причем a ≠ 0, называется квадратичной.
Графиком квадратичной функции является парабола.
Квадратичную функцию можно записать:
1) в виде многочлена: y = ax2 + bx + c, где a ≠ 0;
например, y = 4x2 − 24x + 20;
2) в виде разложения на множители (если корни соответствующего квадратного трехчлена существуют): y = a(x − x1)(x − x2);
например, y = 4(x − 1)(x − 5);
3) в виде выделенного полного квадрата: y = a(x − m)2 + n;
например, y = 4(x − 3)2 − 16.
▪ Пример 1. Из данных функций выберите квадратичную:
а) у = ; б) у = 2х − 5; в) у = х2 + 2х − 8; г) у = |х|.
▪ Пример 2. Квадратичная функция задана формулой f (x) = −x2 +4. Найдите f (3).
Свойства квадратичной функции y = ax2 + bx + c
1. Область определения функции — все действительные числа, т. е. D = R.
2. Множество значений функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Если a > 0, то E = [yв; +∞); сли a < 0, то E = (−∞; yв], где хв и ув — координаты вершины паработы;
ув = у(хв), хв = .
▪ Пример 3. Вершиной параболы у = (х − 4)2 + 1 является точка с координатами:
а) (4; 1); б) (4; −1); в) (−4; −1); г) (−4; 1).
▪ Пример 4. Найдите координаты вершины параболы f (x) = 2x2 − 12x +1.
▪ Пример 5. Найдите координаты вершины параболы f (x) = −x2 + 8x − 1.
▪ Пример 6. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке:
а) у = (х − 3)2 + 4; б) у = (х + 3)2 − 4;
в) у = (х − 3)2 − 4; г) у = (х + 3)2 + 4.
▪ Пример 7. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке:
а) у = (х + 2)2 − 3; б) у = (х − 2)2 − 3;
в) у = (х + 2)2 + 3; г) у = (х − 2)2 + 3.
▪ Пример 8. Квадратичная функция задана формулой у = (х − 7)(х +1). Найдите множество значений данной функции.
3. Нули функции. Значения аргумента, при которых значения функции y = ax2 + bx + c равны нулю, являются корнями квадратного трехчлена ax2 + bx + c.
▪ Если квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет два корня x1 и x2, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках с координатами (x1; 0), (x2; 0).
▪ Если квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет единственный корень x1, то парабола имеет с осью абсцисс единственную общую точку с координатами (x1; 0).
▪ Если квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет корней, то парабола не имеет с осью абсцисс общих точек.
▪ Пример 9. Найдите нули функции у = 3x2 − 7x + 4.
▪ Пример 10. Найдите нули функции f (x) = 6x2 − х.
4. Ось симметрии параболы. Осью симметрии параболы является прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси ординат. Уравнение оси симметрии х = . Симметричные части графика называются ветвями параболы. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх. Если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Чтобы построить график квадратичной функции f (x) = ax2 + bx + c, где a ≠ 0, нужно:
1. Определить направление ветвей параболы. (Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх. Если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.)
2. Определить координаты вершины параболы: хв = , yв = f (хв). Построить вершину параболы и ось симметрии параболы x = хв.
3. Найти нули функции, если они есть, и отметить их на оси абсцисс. квадратичная функция
4. Определить точку пересечения параболы с осью ординат. (Если x = 0, то значение функции f (x) = ax2 + bx + c равно с.) Построить точку с координатами (0; с) и точку, ей симметричную относительно прямой x = хв.
5. Соединив отмеченные точки плавной линией, построить график функции.
▪ Пример 11. Запишите уравнение оси симметрии параболы у = 2x2 − 12x + 1.
▪ Пример 12. Постройте график квадратичной функции у = х2 + 4х + 3.
▪ Пример 13. Постройте график функции у = −х2 + 6х − 8.
▪ Пример 14. Постройте график функции у = (х + 3)2 − 1.
▪ Пример 15. Постройте график функции у = (х − 3)2 − 4.
