§ 1.  Степень с натуральным показателем и ее свойства

Степенью числа a с натуральным показателем n,  большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a

Если n = 1, то a¹ = a.

Число а называют основанием степени, число n — показателем степени.

Чтобы найти значение степени (чтобы возвести число в степень),  надо найти значение произведения одинаковых множителей.

Например, 4³ = 4  ·  4  ·  4 = 64 (4 — основание  степени, 3 — показатель степени, 64 — значение степени).

 ▪ Пример 1. Представьте в виде степени произведение и назовите основание и показатель степени:

 а)  3 · 3 · 3 · 3;          б) (−3) · (−3) · (−3);          в)                             г) 0 · 0 · 0 · 0 · 0.

Видеорешение

 ▪ Пример 2. Найдите значение степени:

а) 0,3⁴;              б) (−5)⁵;               в)

Видеорешение

Произведение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются.

aⁿ · a^m = a^{n + m}

 ▪ Пример 3. Представьте в  виде степени произведение степеней:

а) 5² · 5⁴;          б)                                   в) m¹⁰ · m¹⁵.

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями.

 a^{n + m} = aⁿ · a^m 

Частное степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде частного степеней с одинаковыми основаниями.

aⁿ : a^m = a^{n – m},

a^{n – m} = aⁿ : a^m,

a ≠ 0; n > m

 ▪ Пример 4. Представьте в виде степени частное степеней: 

а) 5²⁰ : 5¹⁴;          б )                               в) m¹⁸ : m¹⁵.

Видеорешение

 ▪ Пример 5. Представьте в виде частного каких-либо степеней степень:

а) 4⁷;          б) k¹²;          в) n³.

Видеорешение

Степень степени

(аⁿ)^m — «степень (с показателем m) степени числа a с показателем n»

При возведении степени в степень основание степени остается прежним, а показатели перемножаются.

(aⁿ)^m = a^nm

 ▪ Пример 6. Представьте в виде степени с основанием: 

а) 5 выражение (5²)³;          б) m выражение (m⁴)⁶;          в) a выражение (a⁶)ⁿ.

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде степени, основание которой тоже степень.

 a^nm = (aⁿ)^m

 ▪ Пример 7. Представьте в виде степени с основанием 3² выражение: 

а) 9³;          б) 9⁷;          в) 81.

Видеорешение

Степень частного

Cтепень частного равна частному степеней делимого и делителя с тем же показателем.

 (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, b ≠ 0

 ▪ Пример 8. Представьте в виде частного степеней степень:

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: при делении степеней с одинаковыми показателями можно разделить основания степеней и полученный результат возвести в ту же степень.

 aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ, b ≠ 0

 ▪ Пример 9. Представьте частное степеней в виде степени и найдите ее значение:

Видеорешение

Степень произведения

Cтепень произведения равна произведению степеней множителей с тем же показателем.

 (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

 ▪ Пример 10. Представьте в виде произведения степеней степень: 

а) (3 · 5)³;          б) (3 · a)⁸;          в) (c · d)ⁿ.

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: при умножении степеней с одинаковыми показателями можно умножить основания степеней и полученный результат возвести в ту же степень.

 aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ

 ▪ Пример 11. Представьте произведение степеней в виде степени и найдите ее значение: 

 а) 0,5⁸ · 2⁸;          б) 25³ · 0,4³;          в)  

Видеорешение

 ▪ Пример 12. Выберите верное равенство: 

а) a¹² : a⁴ = a⁸;          б) a²· a⁴ = (2a)⁸;          в)  a³² : a⁸ = a⁴;         г) (а³)² = а⁵.

Видеорешение