§ 1.  Степень с натуральным показателем и ее свойства

Степенью числа a с натуральным показателем n,  большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a

Если n = 1, то a1 = a.

Число а называют основанием степени, число nпоказателем степени.

Чтобы найти значение степени (чтобы возвести число в степень),  надо найти значение произведения одинаковых множителей.

Например, 43 = 4  ·  4  ·  4 = 64 (4 — основание  степени, 3 — показатель степени, 64 — значение степени).

 ▪ Пример 1. Представьте в виде степени произведение и назовите основание и показатель степени:

 а)  3 · 3 · 3 · 3;          б) (−3) · (−3) · (−3);          в)                             г) 0 · 0 · 0 · 0 · 0.

Видеорешение

 ▪ Пример 2. Найдите значение степени:

а) 0,34;              б) (−5)5;               в)

Видеорешение

Произведение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются.

an · am = an + m

 ▪ Пример 3. Представьте в  виде степени произведение степеней:

а) 52 · 54;          б)                                   в) m10 · m15.

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями.

 an + m = an · am 

Частное степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде частного степеней с одинаковыми основаниями.

an : am = an m,

an = an : am,

a ≠ 0; n > m

 ▪ Пример 4. Представьте в виде степени частное степеней: 

а) 520 : 514;          б )                               в) m18 : m15.

Видеорешение

 ▪ Пример 5. Представьте в виде частного каких-либо степеней степень:

а) 47;          б) k12;          в) n3.

Видеорешение

Степень степени

(аn)m — «степень (с показателем m) степени числа a с показателем n»

При возведении степени в степень основание степени остается прежним, а показатели перемножаются.

(an)m = anm

 ▪ Пример 6. Представьте в виде степени с основанием: 

а) 5 выражение (52)3;          б) m выражение (m4)6;          в) a выражение (a6)n.

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде степени, основание которой тоже степень.

 anm(an)m

 ▪ Пример 7. Представьте в виде степени с основанием 32 выражение: 

а) 93;          б) 97;          в) 81.

Видеорешение

Степень частного

Cтепень частного равна частному степеней делимого и делителя с тем же показателем.

 (a : b)n = an : bn, b ≠ 0

 ▪ Пример 8. Представьте в виде частного степеней степень:

 

 

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: при делении степеней с одинаковыми показателями можно разделить основания степеней и полученный результат возвести в ту же степень.

 an : bn = (a : b)n, b ≠ 0

 ▪ Пример 9. Представьте частное степеней в виде степени и найдите ее значение:

 

 

Видеорешение

Степень произведения

Cтепень произведения равна произведению степеней множителей с тем же показателем.

 (a · b)n = an · bn

 ▪ Пример 10. Представьте в виде произведения степеней степень: 

а) (3 · 5)3;          б) (3 · a)8;          в) (c · d)n.

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: при умножении степеней с одинаковыми показателями можно умножить основания степеней и полученный результат возвести в ту же степень.

 an · bn = (a · b)n

 ▪ Пример 11. Представьте произведение степеней в виде степени и найдите ее значение: 

 а) 0,58 · 28;          б) 253 · 0,43;          в)  

Видеорешение

 ▪ Пример 12. Выберите верное равенство: 

а) a12 : a4 = a8;          б) a2· a4 = (2a)8;          в)  a32 : a8 = a4;         г) (а3)2 = а5.

Видеорешение

 ▪ Пример 13. Вычислите 

Видеорешение