Зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной, называется функциональной зависимостью или функцией.
Задана функция y = f(x), если заданы:
• числовое множество X;
• правило (закон, зависимость) f, по которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственное число y.
Множество X называют областью определения функции y = f(x) и обозначают D(f).
Значения переменной x называют значениями аргумента, а значения переменной y — значениями функции.
Множество X = D(f) — это множество всех значений аргумента. Множество Х может быть числовым промежутком, объединением нескольких промежутков, конечным или бесконечным множеством чисел.
Множество всех значений, которые принимает функция y = f(x), называют множеством значений функции и обозначают Е(f).
Чтобы задать функцию, нужно:
1. Указать область определения функции.
2. Указать правило, с помощью которого по значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у.
Аналитический способ задания функции
Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции определяется с помощью формулы, то такой способ задания функции называют аналитическим. Так, функции g(х) = х3, h(x) = заданы аналитически.
Словесный способ задания функции
Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции описывается словами, т. е. если объясняется, каким образом значению аргумента ставится в соответствие значение функции, то такой способ задания функции — словесный.
Рассмотрим пример функции, заданной словесно: «Функция y = g(x) определена на множестве натуральных чисел, и каждому значению аргумента ставится в соответствие сумма цифр в его десятичной записи». Вычислим несколько значений данной функции: g(12) = 1 + 2 = 3; g(325) = 3 + 2 + 5 = 10; g(30 000) = 3 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3.
Табличный способ задания функции
Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции указывается с помощью таблицы, в первой строке которой указываются значения аргумента, а во второй — соответствующие значения функции, то говорят, что функция задана таблицей.
х | x1 | x2 | x3 | ... | xn-1 | xn |
y = f(x) | y1 | y2 | y3 | ... | yn-1 | yn |
Графический способ задания функции
Способ задания функции с помощью множества точек координатной плоскости называется графическим.
Не любое множество точек на координатной плоскости задает функцию. Например, кривую, изображенную на рисунке, прямая у = x пересекает в двух точках, т. е. значению x соответствует не единственное значение y. Значит, эта кривая не задает функцию.
Произвольная кривая на координатной плоскости задает функцию, если любая прямая, параллельная оси ординат, имеет с этой кривой не более одной общей точки.
Множество всех точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, называют графиком функции.
▪ Пример. Найдите область определения и множество значений функции, график которой изображен на рисунке.