§ 5. Числовые промежутки.
Объединение и пересечение числовых промежутков

Множество действительных чисел называют также числовой прямой.

В следующей таблице приведены все подмножества множества действительных чисел или части числовой прямой, которые называют числовыми промежутками, а также их характеристики.

Название числового промежутка

Изображение

Обозначение

Чтение

Числовая прямая

Множество всех чисел от минус бесконечности до плюс бесконечности

Числовой луч

Множество всех чисел от a включительно до плюс бесконечности

 

Множество всех чисел от минус бесконечности до а включительно

Открытый луч

Множество всех чисел от a (не включая a) до плюс бесконечности

 

Множество всех чисел от минус бесконечности до а (не включая a)

Отрезок

Множество всех чисел от а включительно до b включительно

Интервал

Множество всех чисел от а (не включая a) до b (не включая b)

Полуинтервал

Множество всех чисел от а включительно до b (не включая b)

 

Множество всех чисел от а (не включая a) до b включительно

Пример. Выберите промежуток, изображенный на рисунке:

а) (−8; 7);           б) (−7; 8];           в) [−7; 8);           г) [−7; 8].

Видеорешение

Пример. Выберите промежуток, изображенный на рисунке:

а) (−7; 9);           б) (−9; 7];           в) [−9; 7);           г) [−9; 7].

Видеорешение

Пример. Выберите промежуток, которому принадлежит число −3:

а) [−6; −3);           б)               ;           в)                   ;           г) (−3; 0].

Видеорешение

Пример. Выберите промежуток, которому принадлежит число −5:

а)                  ;           б) (−5; 0];           в) [−9; −5);           г)               .

Видеорешение

Пересечение числовых промежутков

Рассмотрим пересечение множеств, которые являются числовыми промежутками. Например, найдем пересечение отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9]. Отрезок отметим штриховкой выше координатной прямой, а полуинтервал — ниже. Их пересечение, т. е. общая часть, — это часть прямой с двойной штриховкой (и сверху, и снизу). Так отмечен полуинтервал (5; 7].

Запишем пересечение отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9], используя знак пересечения множеств:

[2; 7]     (5; 9] = (5; 7].

Объединение числовых промежутков

Найдем объединение двух числовых промежутков: отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9], т. е. часть прямой, закрытую двумя этими промежутками. Штриховкой сверху или снизу отмечена часть прямой от 2 до 9. Значит, объединение этих промежутков есть отрезок [2; 9]. Используя знак объединения множеств, объединение отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9]

можно записать так: [2; 7] U (5; 9] = [2; 9].