§ 5. Функции y = sin x и y = cos x. Их свойства и графики
Функция y = sin x. Свойства и график
Зависимость, при которой каждому действительному числу x соответствует значение sin x, называется функцией y = sin x.
1. Областью определения функции y = sin x является множество всех действительных чисел, так как для любого x ϵ R существует
sin x. D(sin x) = R
2. Множеством значений функции y = sin x является промежуток [–1; 1], так как ординаты точек единичной окружности (значения синусов чисел) изменяются от –1 до 1. E(sin x) = [–1; 1]
3. Периодичность функции y = sin x. Точки единичной окружности Pα, Pα+2π, Pα–2π совпадают для любого α, значит, значения синусов этих углов также совпадают, т. е. sin α = sin (α + 2π) = sin (α – 2π).
Говорят, что число 2π является периодом функции y = sin x.
Функция y = f(x) называется периодической функцией с периодом T ≠ 0, если для любого значения х из области определения функции числа
x + T и x – T также принадлежат области определения и при этом верно равенство f(x + T) = f(x – T) = f(x).
Функция y = sin x является периодической с наименьшим положительным периодом T = 2π.
4. Четность (нечетность) функции. D(y) = R — симметрична относительно нуля. Так как точки Pα и P–α единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс для любого α ≠ πn, n ϵ Z, то ординаты этих точек противоположны, т. е. sin (–α) = –sin α. Значит, функция y = sin x нечетная.
5. Нули функции. Ординаты точек P0(1; 0) и Pπ(–1; 0) равны нулю. Значит, sin x = 0 в точках x = πn,
n ϵ Z, т. е. график функции пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами x = πn, n ϵ Z.
6. Промежутки знакопостоянства функции. Функция y = sin x принимает положительные значения на промежутках (2πn; π + 2πn),
n ϵ Z, так как ординаты точек единичной окружности положительны в первой и во второй четвертях. Функция y = sin x принимает отрицательные значения на промежутках (π + 2πn; 2π + 2πn), n ϵ Z, так как ординаты точек единичной окружности отрицательны в третьей и четвертой четвертях.
7. Монотонность функции. Функция y = sin x возрастает на промежутках [–π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], n ϵ Z и убывает на промежутках
[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n ϵ Z.
Наибольшее значение функции y = sin x равно 1 и достигается в точках π/2 + 2πn, n ϵ Z.
Наименьшее значение функции y = sin x равно –1 и достигается в точках –π/2 + 2πn, n ϵ Z.
График функции y = sin x называется синусоидой.
Функция y = cos x. Свойства и график
Зависимость, при которой каждому действительному числу x соответствует значение cos x, называется функцией y = cos x.
1. Областью определения функции y = cos x является множество всех действительных чисел, так как для любого x ϵ R существует
sin x. D(cos x) = R
2. Множеством значений функции y = cos x является промежуток [–1; 1], так как абсциссы точек единичной окружности (значения косинусов чисел) изменяются от –1 до 1. E(cos x) = [–1; 1]
3. Периодичность функции y = cos x. Точки единичной окружности Pα, Pα+2π, Pα–2π совпадают для любого α, значит, значения косинусов этих углов также совпадают, т. е. cos α = cos (α + 2π) = cos (α – 2π).
Функция y = cos x является периодической с наименьшим положительным периодом T = 2π.
4. Четность (нечетность) функции. D(y) = R — симметрична относительно нуля. Так как точки Pα и P–α единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс для любого α ≠ π/2 + πn, n ϵ Z, то абсциссы этих точек равны, т. е. cos (–α) = –cos α. Значит, функция y = cos x четная.
5. Нули функции. Абсциссы точек Pπ/2(0; 1) и P3π/2(0; –1) равны нулю. Значит, cos x = 0 в точках
x = π/2 + πn, n ϵ Z, т. е. график функции пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами
x = π/2 + πn, n ϵ Z.
6. Промежутки знакопостоянства функции. Функция y = cos x принимает положительные значения на промежутках
(–π/2 + 2πn; π/2 + 2πn), n ϵ Z, так как абсциссы точек единичной окружности положительны в первой и в четвертой четвертях.
Функция y = cos x принимает отрицательные значения на промежутках (π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn), n ϵ Z, так как абсциссы точек единичной окружности отрицательны во второй и в третьей четвертях.
7. Монотонность функции. Функция y = cos x возрастает на промежутках [–π + 2πn; 2πn], n ϵ Z и убывает на промежутках
[2πn; π + 2πn], n ϵ Z.
Наибольшее значение функции y = cos x равно 1 и достигается в точках x = 2πn, n ϵ Z.
Наименьшее значение функции y = cos x равно –1 и достигается в точках x = π + 2πn, n ϵ Z.
▪ Пример 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = cos x – 7.
График функции y = cos x называется косинусоидой.
