§ 4. Применение свойств квадратных корней

Вынесение множителя за знак корня

Чтобы вынести множитель за знак корня, нужно:

1. Представить подкоренное выражение в виде произведения, содержащего квадрат выражения.

2. Применить свойство корня из произведения.

3. Найти корень из квадрата выражения.

4. Записать произведение полученного множителя и корня.

Пример 1. Вынесите множитель за знак корня в выражении 

Видеорешение

Пример 2. Вынесите множитель за знак корня в выражении 

Видеорешение

Пример 3. Вынесите множитель за знак корня в выражении                при  

Видеорешение

Пример 4. Докажите, что значение выражения                            является натуральным числом.   

Видеорешение

Пример 5. Докажите, что значение выражения                               является целым числом.   

Видеорешение

Внесение множителя под знак корня

Чтобы внести множитель под знак корня, нужно:

1. Представить неотрицательный множитель в виде квадратного корня из квадрата этого множителя.

2. Применить свойство корня из произведения «справа налево».

3. Записать корень из произведения.

Пример 6. Внесите множитель под знак корня в выражении 

Видеорешение

Пример 7. Внесите множитель под знак корня в выражении               при  

Видеорешение

Преобразование выражений, содержащих корни

Выражения, содержащие корни, называются иррациональными.

Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

Если знаменатель дроби представляет собой корень, то числитель и знаменатель дроби можно умножить на знаменатель дроби, тогда получится дробь, в знаменателе которой нет иррациональности.

Пример 8. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби 

Видеорешение

Пример 9. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби 

Видеорешение

Если знаменатель дроби равен сумме (разности) выражений, содержащих корень, то числитель и знаменатель дроби умножают на разность (сумму) этих выражений (говорят — на сопряженное выражение). Тогда в знаменателе дроби получается рациональное число. 

Пример 10. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби

Видеорешение