§ 3. Прямая. Луч. Отрезок. Ломаная

Прямая

Прямая бесконечна (в обе стороны) и разбивает плоскость на две полуплоскости, для которых прямая является границей. Граница принадлежит полуплоскостям.

На рисунке точка С лежит на прямой между точками А и В, которые лежат по разные стороны от точки С. Точки С и В лежат по одну сторону от точки АИз трех точек на прямой одна и только одна точка лежит между двумя другими.

Аксиома прямой. Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и притом только одну.

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если прямые а и b параллельны, то отрезки, изображающие эти прямые, никогда не пересекутся, сколько бы их ни продолжали.

Луч

Лучом называется часть прямой, ограниченная одной точкой.

Точка, ограничивающая луч, принадлежит лучу и называется началом луча. Луч бесконечен (в одну сторону). Он обозначается одной малой буквой, или двумя большими буквами, где первой всегда записывается начало луча. При этом вторая точка может быть не отмечена на луче. Она указывает направление луча, например как точка В на луче АВ.

Два луча называются дополнительными (противоположными), если они имеют общее начало и лежат на одной прямой.

На рисунке изображены дополнительные лучи ОМ и ОK. Они дополняют друг друга до прямой. 

Чтобы построить луч, дополнительный данному, достаточно продлить данный луч за его начало вдоль прямой, на которой лежит данный луч. Любая точка прямой разбивает ее на два дополнительных луча.

Отрезок

Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.

Точки, ограничивающие отрезок, принадлежат отрезку и называются концами отрезка, остальные точки отрезка — его внутренними точками. На рисунке изображен отрезок АВ с концами А и В. Точка М — внутренняя точка отрезка АВ

Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, то этот отрезок пересекает прямую, если в одной полуплоскости — то не пересекает. На рисунке концы отрезка АВ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой а, и он пересекает прямую а. Концы же отрезка CD лежат в одной полуплоскости, и он не пересекает прямую а.

Два отрезка называются равными, если их можно совместить наложением.

Важной характеристикой отрезка является его длина.

Свойства длины отрезкакаждый отрезок имеет длину, выраженную положительным числом; равным отрезкам соответствуют равные длины, большему отрезку — большая длина. И наоборот. 

Аксиома измерения отрезков. Если на отрезке взять точку, то она разобьет данный отрезок на два отрезка, сумма длин которых равна длине данного отрезка.

На рисунке точка С лежит на отрезке АВ. По аксиоме измерения отрезков следует, что АС СВ АВ.

Задача 1. На отрезке АВ, равном 30 см, взята точка К. Отрезок АК на 6 см меньше отрезка КВ. Найдите длину отрезка КВ.

Видеорешение

Аксиома откладывания отрезков. На любом луче от его вершины можно отложить отрезок данной длины, и притом только один.

Задача 2. На прямой отмечены точки А, В и С так, что АВ = 16 см, ВС = 37 см, АС = 21 см. Определите, какая из точек лежит между двумя другими.

Видеорешение

Серединой отрезка называется точка, которая делит отрезок на два равных отрезка. На рисунке точка М — середина отрезка EF, то есть EM = MF.

Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего эти точки.

На рисунке расстояние между точками K и N равно длине отрезка KN.

Ломаная

Ломаной называется геометрическая фигура, образованная отрезками, последовательно соединенными своими концами, у которой никакие два соседних звена не лежат на одной прямой. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

На рисунке изображена ломаная ABCDEF. Указанные отрезки называются звеньями ломаной, а точки ABCDE и F — вершинами ломаной.

Задача 2. Дана четырехзвенная ломаная. Каждое последующее звено, начиная со второго, в 2 раза больше предыдущего звена. Длина ломаной равна 120 см. Найдите длину самого большого ее звена.

Видеорешение

Ломаная называется замкнутой, если начало ее первого звена совпадает с концом последнего. В противном случае она называется незамкнутой. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений и никакие два ее звена, кроме соседних, не имеют общих точек. В противном случае она  называется непростой.