§ 20. Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Соответствующими сторонами подобных треугольников называются стороны, лежащие против соответственно равных углов этих треугольников.

Если для ΔABC и ΔA1B1C1 выполняются два условия:

1) ∠ A = ∠ A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1;

2)                           , то треугольники подобны.

Для удобства подобные треугольники обычно записывают и называют в порядке следования соответствующих вершин. Так, если      ΔABC ~ ΔMNK, то вершины A и M, B и N, C и K — соответствующие.

Отношение соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия треугольников. Если 

ΔABC ~ ΔMNK, то             — коэффициент подобия.

Для определения коэффициента подобия находят отношение стороны первого из записанных или названных подобных треугольников к соответствующей стороне второго треугольника.

Можно выделить следующие свойства подобных треугольников:

1. Если ΔABC ~ ΔA1B1C1, а ΔA1B1C1 ~ ΔA2B2C2, то ΔABC ~ ΔA2B2C2.

2. Если ΔABC ~ ΔMNK и k = 1, то  ΔABC = ΔMNK. 

Теорема (о параллельной прямой). Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны. ИЛИ Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициента подобия.

Задача. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Периметр треугольника АВС равен 24 см, периметр треугольника А1В1С1 равен 36 см. Сторона АВ равна 8 см. Найдите соответствующую ей сторону А1В1.

Видеорешение

Задача. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Периметр треугольника АВС равен 18 см, периметр треугольника А1В1С1 равен 24 см. Сторона А1В1 равна 8 см. Найдите соответствующую ей сторону АВ.

Видеорешение