§ 19. Нахождение длины окружности и площади круга

Длина окружности и площадь круга

Теорема. Длина окружности радиуса R находится по формуле C = 2πR.

Задача. Длина окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равна 8π см. Найдите периметр треугольника.

Видеорешение

Теорема. Площадь круга радиуса R находится по формуле S = πR2.

Задача. Радиус круга равен 7 см. Площадь этого круга равна:

а) 14π см2;          б) 49π см2;           в) 7 см2;          г) 70 см2.

Видеорешение

Задача. Радиус круга равен 5 см. Площадь этого круга равна:

а) 10π см2;          б) 5π см2;           в) 25 см2;          г) 50 см2.

Видеорешение

Длина дуги окружности и площадь сектора круга

Длина l дуги, содержащей n°, равна

Сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, соединяющей концы радиусов. Радиус круга называется  радиусом сектора, указанная дуга — дугой сектора, центральный угол между радиусами, ограничивающими сектор, — углом  сектора.

При вычислении длины дуги допустимы обе следующие записи:                       и 

При вычислении площади сектора допустимы обе следующие записи:                            и 

Длина дуги и площадь сектора прямо пропорциональны градусной мере дуги и угла сектора. Поэтому длина дуги так относится  к длине окружности, как градусная мер дуги относится к градусной мере окружности. Площадь сектора так относится к площади круга, как градусная мера угла сектора относится к градусной мере полного угла, т. е. справедливы пропорции

Замечание. В третьей пропорции lдуги — это длина дуги сектора.

Задача. Площадь круга равна 120 см2. Найдите площадь сектора с углом 90°.

а) 60 см2;           б) 40 см2;          в) 30 см2;           г) 90 см2.

Видеорешение

Задача. Около квадрата с диагональю, равной 12 см, описана окружность. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Видеорешение

Задача. Дана окружность, длина которой равна 12π см. Найдите площадь сектора круга, ограниченного окружностью, если угол сектора равен 40°.

Видеорешение