§ 14. Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения одночлена и многочлена или произведения многочленов.

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки

Вынести общий множитель за скобки — это значит представить данный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена.

Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно:

1) Определить общий множитель у всех членов многочлена.

2) Записать его и открыть скобку.

3) Разделить каждый член многочлена на множитель, записанный перед скобкой.

4) Записать сумму полученных результатов делениякаждого члена многочлена на одночлен и закрыть скобку.

Сколько слагаемых было до вынесения общего множителя за скобки, ровно столько же должно остаться в скобках после вынесения.

Если общий множитель совпадает с одним из слагаемых, на месте этого слагаемого после вынесения общего множителя за скобки остается единица (+1 или −1).

Разложение многочлена на множители способом группировки

Если многочлен — сумма трех выражений: квадрата одного выражения, квадрата другого и удвоенного произведения этих выражений — то этот многочлен равен квадрату суммы или разности этих выражений: a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2.

Некоторые многочлены можно разбить на группы членов, которые имеют общий множитель, и заключить их в скобки, т. е. сгруппировать.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

1) Сгруппировать, т. е. заключить в скобки, члены многочлена, которые имеют общий множитель.

2) В каждой группе членов вынести за скобки общие множители.

3) Вынести за скобки общий множитель полученных произведений.

Члены многочлена можно группировать по-разному. Однако, не каждая группировка членов многочлена позволяет разложить его на множители.

Применение формул сокращенного умножения для разложения многочлена на множители

Если многочлен есть разность квадратов выражений, то он равен произведению суммы и разности этих выражений:

a2 − b2 = (a + b)(a − b).

Комбинации различных способов разложения многочленов на множители

При разложении многочленов на множители иногда приходится применять не один, а сразу несколько способов.

Пример 1. Вынесите общий множитель за скобки в выражении b− 2b.

Видеорешение

Пример 2. Вынесите общий множитель за скобки в выражении 3у2 +15у.

Видеорешение