§ 10. Вписанные и описанные четырехугольники

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружностьЦентр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Для описанного многоугольника справедлива формула S=pr, где S — его площадь, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности. 

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом многоугольник называется описанным около окружностиЦентр вписанной окружности многоугольника находится в точке пересечения биссектрис его углов.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Сумма противоволожных углов четрырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Теорема (признак вписанного четырехугольника). Если сумма противоволожных углов четрырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Следствия:

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

 

 

 

 

 

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат.

 

 

 

 

 

 

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная.

 

 

 

 

Теорема (свойство описанного четырехугольника). Суммы противоволожных сторон описанного четрырехугольника равны между собой.

Теорема (признак описанного четырехугольника). Если суммы противоволожных сторон выпуклого четрырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

А значит, периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон.

Следствия:

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба.

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат.

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте.