§ 10. Вписанные и описанные четырехугольники

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружностьЦентр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом многоугольник называется описанным около окружностиЦентр вписанной окружности многоугольника находится в точке пересечения биссектрис его углов.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Сумма противоволожных углов четрырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Теорема (признак вписанного четырехугольника). Если сумма противоволожных углов четрырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Следствия:

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

 

 

 

 

 

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат.

 

 

 

 

 

 

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная.

Теорема (свойство описанного четырехугольника). Суммы противоволожных сторон описанного четрырехугольника равны между собой.

А значит, периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон.

Теорема (признак описанного четырехугольника). Если суммы противоволожных сторон выпуклого четрырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Следствия:

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба.

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат.

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте.

Для описанного многоугольника справедлива формула S=pr, где S — его площадь, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.