§ 1.  Степень с натуральным показателем и ее свойства

Степенью числа a с натуральным показателем n,  большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a

Если n = 1, то a1 = a.

Число а называют основанием степени, число nпоказателем степени.

Чтобы найти значение степени (чтобы возвести число в степень),  надо найти значение произведения одинаковых множителей.

Например, 43 = 4  ·  4  ·  4 = 64 (4 — основание  степени, 3 — показатель степени, 64 — значение степени).

Пример. Представьте в виде степени произведение и назовите основание и показатель степени:

а)  3 · 3 · 3 · 3;          б) (−3) · (−3) · (−3);          в)  (−1/2) · (−1/2) ;          г) 0 · 0 · 0 · 0 · 0.

Видеорешение

Пример. Найдите значение степени:

а) 0,34;          б) (−5)5;          в) (2/3)3.

Видеорешение

Произведение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются.

Пример. Представьте в  виде степени произведение степеней:

а) 52 · 54;          б) (3/7)5 · (3/7)6;          в) m10 · m15.

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями.

Частное степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде частного степеней с одинаковыми основаниями.

Пример. Представьте в виде степени частное степеней: 

а) 520 : 514;          б ) (2/7)9 : (2/7)5;          в) m18 : m15.

Видеорешение

Пример. Представьте в виде частного каких-либо степеней степень:

а) 47;          б) k12;          в) n3.

Видеорешение

Степень степени

n)m — «степень (с показателем m) степени числа a с показателем n»

При возведении степени в степень основание степени остается прежним, а показатели перемножаются.

Пример. Представьте в виде степени с основанием: 

а) 5 выражение (52)3;          б) m выражение (m4)6;          в) a выражение (a6)n.

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: степень числа можно представить в виде степени, основание которой тоже степень.

Пример. Представьте в виде степени с основанием 32 выражение: 

а) 93;          б) 97;          в) 81.

Видеорешение

Степень частного

Cтепень частного равна частному степеней делимого и делителя с тем же показателем.

Пример. Представьте в виде частного степеней степень:

а) (2/5)4;          б) (3/7)n;          в) (c/n)7.

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: при делении степеней с одинаковыми показателями можно разделить основания степеней и полученный результат возвести в ту же степень.

Пример. Представьте частное степеней в виде степени и найдите ее значение:

а) 104/54;          б) 215/75;          в) 2010/1010.

Видеорешение

Степень произведения

Cтепень произведения равна произведению степеней множителей с тем же показателем.

Пример. Представьте в виде произведения степеней степень: 

а) (3 · 5)3;          б) (3 · a)8;          в) (c · d)n.

Видеорешение

Верно и обратное утверждение: при умножении степеней с одинаковыми показателями можно умножить основания степеней и полученный результат возвести в ту же степень.

Пример. Представьте произведение степеней в виде степени и найдите ее значение: 

а) 0,58 · 28;          б) 253 · 0,43;          в)  37 · (2/3)7.

Видеорешение

Пример. Выберите верное равенство: 

а) a12 : a4 = a8;          б) a2· a4 = (2a)8;          в)  a32 : a8 = a4;         г) (а3)2 = а5.

Видеорешение

Пример. Выберите верное равенство: 

а) (n5)2 = 2n5;          б) n· n5 = n8;          в)  n16 : n8 = n2;         г) n2 · n8 = n16.

Видеорешение

Пример. Вычислите 

Видеорешение

Пример. Вычислите 

Видеорешение