§ 1. Многоугольник

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

Вершины этой ломаной называются вершинами многоугольника, ее звенья — сторонами многоугольника. Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон. По свойству ломаной длина любой стороны многоугольника меньше суммы длин оставшихся сторон.

Многоульник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону. В противном случае он называется невыпуклым. См. видео

На  рисунке а) изображен выпуклый пятиугольник АВСDЕ, б) — невыпуклый четырехугольник АВСD (вершины А и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой СD). Фигура, изображенная на рисунке в), не является многоугольником, так как ломаная 
АВСDЕ непростая.

Стороны многоугольника, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами; вершины, являющиеся концами одной стороны, — соседними вершинами, а углы при этих вершинах — соседними углами многоугольника. При этом углом выпуклого многоугольника (иногда говорят внутренним углом) называется угол между соседними сторонами, содержащий этот многоугольник.

Каждый угол выпуклого многоугольника меньше 180°. Невыпуклый многоугольник имеет, по крайней мере, один угол, больший 180°.

Диагональю многоугольника называется отрезок, который соединяет две несоседние вершины многоугольника.

У любого четырехугольника четыре стороны, четыре вершины, четыре внутренних угла, две диагонали. Две несоседние стороны называются противоположными (или противолежащими) сторонами, две несоседние вершины — противоположными вершинами, а углы при этих вершинах — противоположными углами четырехугольника.

У четырехугольника АВСD, изображенногона рисунке слева, стороны АВ и СD, АD и ВС —  противоположные, вершины А и С, В и D, а также углы при этих вершинах — противоположные.  Отрезки АС и ВD — диагонали четырехугольника АВСD. Диагональ АС разбивает четырехугольник АВСD на два треугольника АВС и АDС.

Теорема (о сумме углов n-угольника). Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2). Доказательство

Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°.

Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с его внутренним углом.

Свойство: "Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°». Доказательство

Задача. Найдите количество диагоналей выпуклого шестиугольника.

Видеорешение

Задача. Дан выпуклый n-угольник, сумма углов которого равна 3600°. Найдите число сторон данного n-угольника.

Видеорешение