§ 14. Свойства корней n-й степени из числа а (n ≥ 2, n ∈ N)

Свойство 1. Корень n-й степени из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней n-й степени из этих множителей:

 

а ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N, n > 1.

Свойство 2. Корень n-й степени из частного равен частному корней n-й степени делимого и делителя, если делимое — неотрицательное число, а делитель — положительное число:

 

 

а ≥ 0, b > 0, n ∈ N, n > 1.

Свойство 3. Значение корня из степени не изменится, если и показатель корня, и показатель подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число или разделить на их общий делитель: 

 

где а ≥ 0, n ∈ N, m ∈ Z, k ∈ N, r — общий натуральный делитель чисел m и n, n > 1, k > 1 и r > 1.

Пример 1. Найдите значение выражения

Видеорешение

Свойство 4. Чтобы извлечь корень k-й степени из корня n-й степени из неотрицательного числа, достаточно извлечь корень степени nk из этого числа:

 

для любых натуральных n > 1 и k > 1, а ≥ 0.

Пример 2. Сравните

Видеорешение

Свойство 5. Для любого действительного a и натурального n > 1 справедливо равенство

Пример 3. Представьте в виде одночлена выражение                             если m < 0.

Видеорешение

Пример 4. Найдите значение выражения

Видеорешение