§ 9. Умножение и деление натуральных чисел
Произведение (умножение) а · b = c (а — первый множитель, b — второй множитель, с — значение произведения).
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Произведением двух чисел а и b называется сумма b слагаемых, каждое из которых равно а.
Законы умножения.
1. Переместительный закон умножения: a · b = b · a. От перемены мест множителей произведение не меняется.
2. Сочетательный закон умножения: (a · b) · c = a · (b · c). Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
3. Распределительный закон умножения относительно:
а) сложения: чтобы умножить сумму на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить:
(a + b) · c = a · c + b · c;
б) вычитания: чтобы умножить разность на число, можно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого произведения вычесть второе:
(a – b) · c = a · c – b · c.
4. Произведение числа и единицы равно этому числу: а · 1 = a.
5. Произведение числа и нуля равно нулю: a · 0 = 0.
Законы умножения применяются при упрощении вычислений.
Пример 1. Найдите произведение: 4 · 8 · 11 · 25.
Пример 2. Вычислите удобным способом: 61 · 23.
Пример 3. Вычислите: ((45 + 67) · 78 + 56) · 0.
Частное (деление) a : b = c (a — делимое, b — делитель, с — значение частного).
1. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное.
2. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Частным двух чисел a и b называется такое число c, которое при умножении на b даёт a.
Свойства частного.
1. Частное какого-то числа и 1 равно этому числу: a : 1 = a.
2. Частное двух равных натуральных чисел равно 1: a : a = 1.
3. Частное нуля и натурального числа равно нулю: 0 : a = 0.
Деление числа на нуль не выполняется, так как не имеет смысла, не существует числа, которое при умножении на ноль даёт число, не равное нулю: a · 0 = 0.
Алгоритм решения задач «на части».
1. Выяснить, о какой величине идёт речь в задаче.
2. Назвать зависимость между значениями величины в задаче. Указать, какие значения величины необходимо найти.
3. Назвать сумму (разность) значений величины.
4. Определить части каждого слагаемого в сумме или уменьшаемого и вычитаемого в разности.
5. Найти сумму (разность) частей.
6. Найти, какое значение величины приходится на одну часть (сумму или разность разделить на количество частей).
7. Результат пункта 6 умножить на количество частей, приходящихся на каждое значение величины.
Пример 4. В двух рулонах 1080 м ткани. В одном из них в 3 раза больше ткани, чем в другом. Сколько метров ткани в каждом рулоне?
Пример 5. Мальчик для построения моделей фигур разрезал проволоку на два куска так, что один из них оказался в 6 раз длиннее другого. Найдите первоначальную длину проволоки, если больший кусок на 35 см длиннее меньшего.
