§ 8. Четные и нечетные функции

Функция y = f(x) называется четной, если:

1) ее область определения симметрична относительно нуля;

2) для любого x ∈ D(f) выполняется условие f(−x) = f(x).

Условие f(−x) = f(x) означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента равны.

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Чтобы доказать, что функция является четной, нужно:

1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.

2. Записать выражение f(−x).

3. Показать, что f(−x) = f(x).

 ▪ Пример 1. Докажите, что функция f(x) = 3x4 − 5x2 является четной. 

Видеорешение

Если график некоторой функции симметричен относительно оси ординат, то эта функция является четной.

Функция y = f(x) называется нечетной, если:

1) ее область определения симметрична относительно нуля;

2) для любого x ∈ D(f) выполняется условие f(−x) = −f(x).

Условие f(−x) = −f(x) означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента противоположны.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Чтобы доказать, что функция является нечетной, нужно:

1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.

2. Записать выражение f(−x).

3. Показать, что f(−x) = −f(x).

Если график некоторой функции симметричен относительно начала координат, то эта функция является нечетной.

Если необходимо исследовать функцию на четность, то нужно выяснить является ли данная функция четной; нечетной. Если оба ответа отрицательны, то говорят, что функция не является ни четной, ни нечетной.