§ 8. Четные и нечетные функции

Функция y = f(x) называется четной, если:

1) ее область определения симметрична относительно нуля;

2) для любого x ∈ D(f) выполняется условие f(−x) = f(x).

Условие f(−x) = f(x) означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента равны.

Чтобы доказать, что функция является четной, нужно:

1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.

2. Записать выражение f(−x).

3. Показать, что f(−x) = f(x).

Если необходимо исследовать функцию на четность, то нужно выяснить является ли данная функция четной; нечетной. Если оба ответа отрицательны, то говорят, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция y = f(x) называется нечетной, если:

1) ее область определения симметрична относительно нуля;

2) для любого x ∈ D(f) выполняется условие f(−x) = −f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Условие f(−x) = −f(x) означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента противоположны.

Если график некоторой функции симметричен относительно начала координат, то эта функция является нечетной.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Чтобы доказать, что функция является нечетной, нужно:

1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.

2. Записать выражение f(−x).

3. Показать, что f(−x) = −f(x).

Если график некоторой функции симметричен относительно оси ординат, то эта функция является четной.