§ 8. Описанная и вписанная окружности треугольника
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
На рисунке изображена окружность с радиусом R и центром O, описанная около треугольника ABC.
Так как OA = OB = OC = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.
Вместо слов «окружность, описанная около треугольника ABC», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника ABC», или «описанная окружность треугольника ABC».
Теорема (об окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения середенных перпендикуляров в сторонам треугольника.
Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
На рисунке изображена окружность с центром О и радиусом r, вписанная в треугольник АВС; K, M и N — точки ее касания со сторонами треугольника ABC. Так как OK = OM = ON = r и по свойству касательной к окружности OK ⊥ AB, OM ⊥ BC, ON ⊥ AC, то центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника.
Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник ABC», также говорят «вписанная окружность треугольника ABC».
Теорема (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.
Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.
Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле S=pr, где p — полупериметр треугольника, r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле r=S/p.
Формула для нахождения радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника: , где b — боковая сторона, ha — высота, проведенная к основанию.
