§ 7. Квадратные уравнения.
Решение неполных квадратных уравнений
Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, называется квадратным уравнением. Число a называется первым (старшим) коэффициентом, b — вторым (средним) коэффициентом, с — свободным членом.
Например, уравнение 2x2 − 5x + 3 = 0 является квадратным, в нем первый коэффициент a = 2, второй коэффициент b = −5, свободный член c = 3.
В уравнении 4x2 − x = 0 первый коэффициент a = 4, второй коэффициент b = −1, свободный член c = 0.
В уравнении 3x2 − 2 = 0 первый коэффициент a = 3, второй коэффициент b = 0, свободный член c = −2.
В уравнении 12x2 = 0 первый коэффициент a = 12, второй коэффициент b = 0, свободный член c = 0.
Квадратные уравнения, в которых или коэффициент b, или свободный член с, или и b и c равны нулю, называются неполными квадратными уравнениями.
Решение неполных квадратных уравнений
Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей произведения равен нулю. Справедливо и обратное: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
Чтобы решить неполное квадратное уравнение, нужно:
1. Привести уравнение к одному из видов:
а) ax2 + bx = 0, где а ≠ 0, b ≠ 0;
б) ax2 + c = 0, где а ≠ 0, c ≠ 0;
в) ax2 = 0, где a ≠ 0.
2. Разложить левую часть уравнения на множители (вынести общий множитель за скобки, применить формулу "разность квадратов").
3. Применить свойство о равенстве нулю произведения: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей произведения равен нулю.
4. Решить полученное уравнение (совокупность уравнение).
Неполное квадратное уравнение | Решение уравнения |
ax2 + bx = 0, где а ≠ 0, b ≠ 0 | Уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю
|
ax2 + c = 0, где а ≠ 0, с ≠ 0 | Если а и с — числа разных знаков, то уравнение имеет два корня. Если а и с — числа одного знака, то уравнение не имеет корней. |
ax2 = 0, где a ≠ 0
| Уравнение имеет единственный корень, равный нулю
|
▪ Пример 1. Решите неполное квадратное уравнение 7x2 + x = 0.
▪ Пример 2. Решите неполное квадратное уравнение 2x2 = 3x.
▪ Пример 3. Решите уравнение x2 − 64 = 0.
▪ Пример 4. Решите уравнение x2 − 13 = 0.
▪ Пример 5. Решите уравнение 4у2 − 25 = 75.
