§ 7. Квадратные уравнения.
Решение неполных квадратных уравнений

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей произведения равен нулю. Справедливо и обратное: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Чтобы решить неполное квадратное уравнение, нужно:

1. Привести уравнение к одному из видов:

а) ax2 + bx = 0, где а ≠ 0, b ≠ 0;

б) ax2 + c = 0, где а ≠ 0, c ≠ 0;

в) ax2 = 0, где a ≠ 0.

2. Разложить левую часть уравнения на множители (вынести общий множитель за скобки, применить формулу "разность квадратов").

3. Применить свойство о равенстве нулю произведения: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей произведения равен нулю.

4. Решить полученное уравнение (совокупность уравнение).

Решение неполных квадратных уравнений

Квадратные уравнения, в которых или коэффициент b, или свободный член с, или и b и c равны нулю, называются неполными квадратными уравнениями.

Например, уравнение 2x2 − 5x + 3 = 0 является квадратным, в нем первый коэффициент a = 2, второй коэффициент b = −5, свободный член c = 3.

В уравнении 4x2 − x = 0 первый коэффициент a = 4, второй коэффициент b = −1, свободный член c = 0.

В уравнении 3x2 − 2 = 0 первый коэффициент a = 3, второй коэффициент b = 0, свободный член c = −2.

В уравнении 12x2 = 0 первый коэффициент a = 12, второй коэффициент b = 0, свободный член c = 0.

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, называется квадратным уравнением. Число a называется первым (старшим) коэффициентом, b — вторым (средним) коэффициентом, с — свободным членом.

Неполное квадратное уравнение

Решение уравнения

ax2 + bx = 0, где а ≠ 0, b ≠ 0

Уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю

ax2 + c = 0, где а ≠ 0, с ≠ 0

Если а и с — числа разных знаков, то уравнение имеет два корня.

Если а и с — числа одного знака, то уравнение не имеет корней.

ax2 = 0, где a ≠ 0

Уравнение имеет единственный корень, равный нулю

Пример. Решите неполное квадратное уравнение 7x2 + x = 0.  

Видеорешение

Пример. Решите неполное квадратное уравнение 6x2 + x = 0.  

Видеорешение

Пример. Решите уравнение x2 − 64 = 0.  

Видеорешение

Пример. Решите уравнение x2 − 13 = 0.  

Видеорешение

Пример. Решите уравнение 4у2 − 25 = 75.  

Видеорешение

Пример. Решите неполное квадратное уравнение 2x2 = 3x.  

Видеорешение