§ 6. Функция числового аргумента. Область определения, множество значений.
Способы задания функции

Зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной, называется функциональной зависимостью или функцией.

Множество X называют областью определения функции y = f(x) и обозначают D(f).

Задана функция y = f(x), если заданы:

• числовое множество X;

• правило (закон, зависимость) f, по которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственное число y.

Значения переменной x называют значениями аргумента, а значения переменной y — значениями функции.

Чтобы задать функцию, нужно:

1. Указать область определения функции.

2. Указать правило, с помощью которого по значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у.

Множество всех значений, которые принимает функция y = f(x), называют множеством значений функции и обозначают Е(f).

Множество X = D(f) — это множество всех значений аргумента. Множество Х может быть числовым промежутком, объединением нескольких промежутков, конечным или бесконечным множеством чисел.

Аналитический способ задания функции

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции определяется с помощью формулы, то такой способ задания функции называют аналитическим. Так, функции g(х) = х3, h(x) = 1/х заданы аналитически.

Рассмотрим пример функции, заданной словесно: «Функция y = g(x) определена на множестве натуральных чисел, и каждому значению аргумента ставится в соответствие сумма цифр в его десятичной записи». Вычислим несколько значений данной функции: g(12) = 1 + 2 = 3; g(325) = 3 + 2 + 5 = 10; g(30 000) = 3 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3.

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции описывается словами, т. е. если объясняется, каким образом значению аргумента ставится в соответствие значение функции, то такой способ задания функции — словесный.

Словесный способ задания функции

Табличный способ задания функции

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции указывается с помощью таблицы, в первой строке которой указываются значения аргумента, а во второй — соответствующие значения функции, то говорят, что функция задана таблицей.

Способ задания функции с помощью множества точек координатной плоскости называется графическим.

Не любое множество точек на координатной плоскости задает функцию. Например, кривую, изображенную на рисунке, прямая x = x0 пересекает в двух точках, т. е. значению x0 соответствует не единственное значение y. Значит, эта кривая не задает функцию.

х

x1

x2

x3

...

xn-1

xn

y = f(x)

y1

y2

y3

...

yn-1

yn

Графический способ задания функции

Произвольная кривая на координатной плоскости задает функцию, если любая прямая, параллельная оси ординат, имеет с этой кривой не более одной общей точки.

Множество всех точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, называют графиком функции.