§ 5. Числовые промежутки.
Объединение и пересечение числовых промежутков

В следующей таблице приведены все подмножества множества действительных чисел или части числовой прямой, которые называют числовыми промежутками, а также их характеристики.

Множество действительных чисел называют также числовой прямой.

Название числового промежутка

Изображение

Обозначение

Чтение

Числовая прямая

Множество всех чисел от минус бесконечности до плюс бесконечности

Числовой луч

Множество всех чисел от a включительно до плюс бесконечности

 

Множество всех чисел от минус бесконечности до а включительно

Открытый луч

Множество всех чисел от a (не включая a) до плюс бесконечности

 

Множество всех чисел от минус бесконечности до а (не включая a)

Отрезок

Множество всех чисел от а включительно до b включительно

Интервал

Множество всех чисел от а (не включая a) до b (не включая b)

Полуинтервал

Множество всех чисел от а включительно до b (не включая b)

 

Множество всех чисел от а (не включая a) до b включительно

Пересечение числовых промежутков

Найдем объединение двух числовых промежутков: отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9], т. е. часть прямой, закрытую двумя этими промежутками. Штриховкой сверху или снизу отмечена часть прямой от 2 до 9. Значит, объединение этих промежутков есть отрезок [2; 9]. Используя знак объединения множеств, объединение отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9]

можно записать так: [2; 7] U (5; 9] = [2; 9].

Объединение числовых промежутков

Рассмотрим пересечение множеств, которые являются числовыми промежутками. Например, найдем пересечение отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9]. Отрезок отметим штриховкой выше координатной прямой, а полуинтервал — ниже. Их пересечение, т. е. общая часть, — это часть прямой с двойной штриховкой (и сверху, и снизу). Так отмечен полуинтервал (5; 7].

Запишем пересечение отрезка [2; 7] и полуинтервала (5; 9], используя знак пересечения множеств:

[2; 7]     (5; 9] = (5; 7].

Пример. Выберите промежуток, изображенный на рисунке:

а) (−8; 7);           б) (−7; 8];           в) [−7; 8);           г) [−7; 8].

Видеорешение

Пример. Выберите промежуток, изображенный на рисунке:

а) (−7; 9);           б) (−9; 7];           в) [−9; 7);           г) [−9; 7].

Видеорешение

Пример. Выберите промежуток, которому принадлежит число −3:

а) [−6; −3);           б)               ;           в)                   ;           г) (−3; 0].

Видеорешение

Пример. Выберите промежуток, которому принадлежит число −5:

а)                  ;           б) (−5; 0];           в) [−9; −5);           г)               .

Видеорешение