§ 27. Центральный и вписанный углы

Центральным углом окружности называется угол, вершина которого находится в центре окружности.

Дуга окружности, заключенная внутри центрального угла, и этот центральный угол называются соответствующими друг другу.

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла.

Дуги одной окружности или равных окружностей называются равными, если равны их градусные меры.

Большей считается та дуга, которая имеет большую градусную меру.

Следует отметить, что окружность и любая ее дуга характеризуются и длиной, и градусной мерой. Говорят «дуга окружности равна 

6 см», также говорят «дуга окружности равна 30°». Длина дуги прямо пропорциональна ее градусной мере. Дуги одной окружности, имеющие равные градусные меры, равны по длине и наоборот.

Вписанным углом называется угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол равен половине соответстующего ему центрального угла, а также половине дуги, на которою он опирается.

 ▪ Задача 1_{(тест 2 из учебного пособия).} 

Если АВ – диаметр, ∠АBC = 60°, то: 

а) ∠АCB = …                    б) ∠САВ = …                в) ∠CDB = …   

Видеорешение

 ▪ Задача 2. Центральный угол АОС на 18° больше соответствующего вписанного угла АВС. Найдите вписанный угол АВС.

Видеорешение

 ▪ Задача 3. Вписанный угол АВС на 24° меньше соответствующего центрального угла АОС. Найдите вписанный угол АВС.

Видеорешение

 ▪ Задача 4. Радиус окружности равен 6 см. Найдите длину хорды, которая стягивает дугу, содержащую 90°.

Видеорешение

Следствия.

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. И обратно, если вписанный угол — прямой, то он опирается на диаметр.

 ▪ Задача 5.  Если вписанный угол KML, изображенный на рисунке, равен 38°, то вписанный угол KNL равен:

1) 46°;           2) 38°;           3) 19°;           4) 52°;           5) 76°.  

Видеорешение

Теорема. Угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри угла.

Свойство: «Угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой».