§ 25. Касательная к окружности

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от ее центра, которое равно радиусу окружности. Если расстояние от центра до точки больше радиуса окружности, то говорят, что точка находится вне окружности, а если меньше радиуса, то — внутри окружности. Все точки плоскости, находящиеся от центра окружности на расстоянии, меньшем или равном радиусу, образуют круг.

На рисунке точки A, E, D принадлежат окружности с радиусом R и центром O, точка B находится внутри окружности (внутри круга), точка C — вне окружности (вне круга), OA = OE = OD = R, OB < R, OC > R.

Можно установить, что прямая и окружность могут иметь только три различных взаимных положения: прямая и окружность не имеют общих точек (прямая a), имеют одну общую точку (прямая b), имеют две общие точки (прямая c). 

В первом случае расстояние от центра до прямой больше радиуса (OM > R), во втором — равно радиусу (OK = R), в третьем — меньше радиуса (ON < R). Говорят, что прямая b касается окружности в точке K, где K — точка касания прямой и окружности, а прямая c пересекает окружность в точках A и B.

Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей к окружности.

А значит, центры всех окружностей, вписанных в угол, лежат на биссектрисе угла.

Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к окружности.

Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.

Теорема (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Теорема (о касательных, проведенных из одной точки). Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности (соединяющих данную точку и точку касания), равны между собой.

Если окружность касается сторон угла, то она называется вписанной в угол.

Теорема (об окружности, вписанной в угол). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Задача. В угол А вписана окружность с центром в точке О, которая касается сторон угла в точках В и С. Найдите угол ВСО, если ∠А = 64°.

Видеорешение

Задача. В угол В вписана окружность с центром в точке О, которая касается сторон угла в точках А и С. Найдите угол АВО, если ∠АОС = 118°.

Видеорешение