§ 20. Подобие треугольников

Теорема (о параллельной прямой). Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Соответствующими сторонами подобных треугольников называются стороны, лежащие против соответственно равных углов этих треугольников.

Если для ΔABC и ΔA1B1C1 выполняются два условия:

1) ∠ A = ∠ A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1;

2)                           , то треугольники подобны.

Для удобства подобные треугольники обычно записывают и называют в порядке следования соответствующих вершин. Так, если      ΔABC ~ ΔMNK, то вершины A и M, B и N, C и K — соответствующие.

Отношение соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия треугольников. Если 

ΔABC ~ ΔMNK, то             — коэффициент подобия.

Для определения коэффициента подобия находят отношение стороны первого из записанных или названных подобных треугольников к соответствующей стороне второго треугольника.

Можно выделить следующие свойства подобных треугольников:

1. Если ΔABC ~ ΔA1B1C1, а ΔA1B1C1 ~ ΔA2B2C2, то ΔABC ~ ΔA2B2C2.

2. Если ΔABC ~ ΔMNK и k = 1, то  ΔABC = ΔMNK. 

Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны. ИЛИ Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициента подобия.

Задача. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Периметр треугольника АВС равен 24 см, периметр треугольника А1В1С1 равен 36 см. Сторона АВ равна 8 см. Найдите соответствующую ей сторону А1В1.

Видеорешение

Задача. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Периметр треугольника АВС равен 18 см, периметр треугольника А1В1С1 равен 24 см. Сторона А1В1 равна 8 см. Найдите соответствующую ей сторону АВ.

Видеорешение