§ 20. Линейная функция и ее свойства
Функция вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа, а x и y — переменные, называется линейной функцией.
▪ Пример 1. Определите, какие из функций являются линейными:
а) у = 2х + 5; б) у = − 6; в) у = 12х2 + 7; г) у = 16х;
д) у = 6 − х; е) у = 12; ж) у = − 1.
Для того чтобы найти значение функции по заданному значению аргумента, нужно:
1) Назвать функцию и аргумент.
2) В формулу функции вместо аргумента подставить его значение.
▪ Пример 2. Найдите значение линейной функции у = 6х − 2 при заданном значении аргумента х = −3.
Для того чтобы найти значение аргумента по заданному значению функции, нужно:
1) Назвать функцию и аргумент.
2) В формулу функции подставить ее значение.
3) Решить полученное линейное уравнение.
▪ Пример 3. Найдите значение аргумента, при котором значение функции у = 8х − 2 равно 1.
▪ Пример 4. Найдите значение аргумента, при котором значение функции f (x) = − 5 равно 3.
Свойства линейной функции
1. Область определения линейной функции.
Областью определения линейной функции y = kx + b является множество всех чисел. D(y): все числа.
2. Множество значений линейной функции.
• При k ≠ 0 E(y): все числа.
• При k = 0 E(y) = {b}.
▪ Пример 5. Найдите область определения и множество значений линейной функции:
а) у = 4х + 6; б) у = −6.
3. Нули линейной функции.
• При k ≠ 0 x = − — нуль функции.
• При k = 0 и b ≠ 0 нулей нет.
• При k = 0 и b = 0 все числа — нули функции.
4. Положительные и отрицательные значения линейной функции.
• Если k > 0, то: y > 0 при x > − ; y < 0 при x < − .
• Если k < 0, то: y > 0 при x < − ; y < 0 при x > − .
• Если k = 0, то: y > 0 при b > 0; y < 0 при b < 0.
▪ Пример 7. Найдите, при каких значениях аргумента функция у = 3 − х принимает положительные значения.
▪ Пример 8. Найдите, при каких значениях аргумента функция у = 1,2х + 6 принимает отрицательные значения.
График линейной функции
Графиком линейной функции является прямая.
Для того чтобы построить график линейной функции, нужно:
1) Выбрать два произвольных значения аргумента x1 и x2.
2) Найти соответствующие им значения функции y1 и y2.
3) Построить точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2).
4) Провести через эти точки прямую.
▪ Пример 9. (учебник, № 3.327) Дана функция у = 3 − 4х. Выясните, принадлежат ли точки А, В и С графику функции, если А(0;−1), В(−2;−5), С(5;−17).
▪ Пример 10. (учебник, № 3.332) Постройте график линейной функции у = 2х − 4. По графику функции определите:
а) значение функции при х = −1; б) значение аргумента при у = −2.
▪ Пример 11. Постройте график линейной функции у = 2х – 3.
▪ Пример 12. (учебник, № 3.322) Дана функция у = 4х − 4. Не выполняя построений, найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
▪ Пример 13. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков функций и .
Геометрический смысл чисел k и b в формуле y = kx + b
Число k называется угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции y = kx + b. По угловому коэффициенту k можно определить угол наклона прямой к оси Ox. Число b — ордината точки пересечения прямой с осью ординат.
В общем случае для функции y = kx + b:
Если k > 0, то прямая образует с положительным направлением оси Oх острый угол.
Если k < 0, то прямая образует с положительным направлением оси Oх тупой угол.
Если k = 0, то прямая параллельна оси Oх.
▪ Пример 14. График линейной функции y = kx + b проходит через точки (1; 0) и (0; 3). Найдите k и b.
Взаимное расположение графиков линейных функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2
Если угловые коэффициенты линейных функций равны k1 = k2, а b1 ≠ b2, то прямые параллельны.
Если угловые коэффициенты линейных функций не равны k1 ≠ k2, то прямые пересекаются.
Если угловые коэффициенты линейных функций равны k1 = k2 и b1 = b2, то прямые совпадают.
▪ Пример 15. Определите взаимное расположение прямых — графиков линейных функций, не выполняя построения:
а) у = х − 6 и у = 49х; б) у = х и у = х + 8; в) у = 1,5х + 5 и у = 9.
▪ Пример 16. Графики функции y = −5x и y = kx + b параллельны, причем график функции y = kx + b проходит через точку N (2;7). Найдите k и b.
▪ Пример 16. Выберите функцию, график которой параллелен графику функции y = 2x − 3:
а) у = −3х + 1; б) у = 3х − 7; в) у = −2х + 5; г) у = 2х + 9.
▪ Пример 17. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке:
а) у = − ; б) у = −2; в) у = −2х; г) у = х − 2.
