§ 20. Линейная функция и ее свойства

Функция вида y = kx + b, где  k  и b — некоторые числа, а x и y — переменные, называется линейной функцией.

4. Положительные и отрицательные значения линейной функции.

• Если k > 0, то: y > 0 при  x > −b/k; y < 0 при  x < −b/k.

• Если k < 0, то: y > 0 при  x < −b/k; y < 0 при  x > −b/k.

• Если k = 0, то: y > 0 при b > 0; y < 0 при b < 0.

Для того чтобы найти значение аргумента по заданному значению функции, нужно:

1) Назвать функцию и аргумент.
2) В формулу функции подставить ее значение.

3) Решить полученное линейное уравнение.

Для того чтобы найти значение функции по заданному значению аргумента, нужно:

1) Назвать функцию и аргумент.
2) В формулу функции вместо аргумента подставить его значение.

Пример. Определите, какие из функций являются линейными:

а) у = 2х + 5;

б) у = 2/х − 6;

в) у = 12х2 + 7;

г) у = 16х;

д) у = 6 − х;

е) у = 12;

ж) у = х/5 − 1.

Видео решение

Пример. Найдите значение линейной функции у = 6х − 2 при заданном значении аргумента х = −3.

Видео решение

Пример. Найдите значение аргумента, при котором значение функции у = 8х − 2 равно 1.

Видео решение

Свойства линейной функции

3. Нули линейной функции.

• При k ≠ 0 x=−b/y — нуль функции.
• При k = 0 и b ≠ 0 нулей нет.
• При k = 0 и b = 0 все числа — нули функции.

2. Множество значений линейной функции.

• При k ≠ 0  E(y): все числа.

• При k = 0  E(y) = {b}.

1. Область определения линейной функции.

Областью определения линейной функции y = kx + b является множество всех чисел. D(y): все числа.

Пример. Найдите область определения и множество значений линейной функции:

а) у = 4х + 6;

б) у = −6.

Видео решение

Пример. Найдите нули функции:

а) y=4x+1;

б) у=−5;

в) у=0.

Видео решение

Пример. Найдите, при каких значениях аргумента функция у = 3 − х принимает положительные значения.

Видео решение

Пример. Найдите, при каких значениях аргумента функция у = 1,2х + 6 принимает отрицательные значения.

Видео решение

График линейной функции

В общем случае для функции y = kx + b:

Число k называется угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции y = kx + b. По угловому коэффициенту k можно определить угол наклона прямой к оси Ox. Число b — ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

Графиком линейной функции является прямая.

Для того чтобы построить график линейной функции, нужно:

1) Выбрать два произвольных значения  аргумента x1 и x2.
2) Найти соответствующие им значения функции y1  и y2
3) Построить точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2).

4) Провести через эти точки прямую.

Пример. (учебник, № 3.327) Дана функция у = 3 − 4х. Выясните, принадлежат ли точки А, В и С графику функции, если А(0;−1), В(−2;−5), С(5;−17).

Видео решение

Пример. (учебник, № 3.332) Постройте график линейной функции у = 2х − 4. По графику функции определите:

а) значение функции при х = −1;

б) значение аргумента при у = −2.

Видео решение

Пример. Постройте график линейной функции у = 2х − 3.

Видео решение

Пример. Постройте график линейной функции у = 3х − 1..

Видео решение

Пример. (учебник, № 3.322) Дана функция у = 4х − 4. Не выполняя построений, найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

Видео решение

Пример. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков функций                     и  

Видео решение

gallery/у1
gallery/у2

Геометрический смысл чисел k и b в формуле y = kx + b

Взаимное расположение графиков линейных функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2

Если k = 0, то прямая параллельна оси Oх.

Если k < 0, то прямая образует с положительным направлением оси Oх тупой угол.

Если k > 0, то прямая образует с положительным направлением оси Oх острый угол.

gallery/острый
gallery/тупой
gallery/паралл оси

Если угловые коэффициенты линейных функций равны k1 = k2, а b1 ≠ b2, то прямые параллельны.

 Если угловые коэффициенты линейных функций равны k1 = k2 и  b1 = b2, то прямые совпадают.

gallery/лин паралл

Если угловые коэффициенты линейных функций не равны k≠ k2, то прямые пересекаются.

gallery/лин перес
gallery/лин совп

Пример. Определите взаимное расположение прямых — графиков линейных функций, не выполняя построения:

а) у = х − 6 и у = 49х;

б) у = х и у = х + 8;

в) у = 1,5х + 5 и у = 9.

Видео решение

Пример. Графики функции y = −5x и y = kx + b пареллельны, причем график функции y = kx + b проходит через точку N (2;7). Найдите k и b.

Видео решение