§ 2. Предмет геометрии
Основные фигуры
Основные геометрические фигуры — точка, прямая и плоскость. Это абстрактные математические понятия, которые принимаются без определения. Точка обозначается большой буквой, прямая — двумя большими или одной малой буквой латинского алфавита. Плоскость обозначается тремя большими буквами латинского или одной малой буквой греческого алфавита.
На рисунке изображены точки А, В, С и М, прямые ВС и b, плоскость α (альфа). Точка А и прямая ВС принадлежат плоскости α, точка М принадлежит прямой b.
Планиметрия и стереометрия
В планиметрии изучаются свойства плоских геометрических фигур, то есть тех, которые всеми своими точками могут быть расположены в одной плоскости. Это треугольник, квадрат, окружность и другие фигуры.
В стереометрии рассматриваются свойства пространственных геометрических фигур, которые не могут целиком располагаться в одной плоскости. Таких, например, как куб, прямоугольный параллелепипед, пирамида, шар.
Геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Так как фигуры А и В, изображенные на рисунке, совместились всеми своими точками, то это равны фигуры. Если сказано, что фигуры равны, то их можно полностью совместить друг с другом.
Иногда для совмещения равных фигур, расположенных на плоскости, одну из них приходится перевернуть. Например, как фигуру С на рисунке для совмещения с равными ей фигурами А и В.
Определения, аксиомы, теоремы
Все геометрические фигуры, кроме точки, прямой и плоскости, имеют определения. В определении указываются отличительные характеристики данной фигуры или взаимного расположения фигур. Определение обычно содержит либо слово называется, либо слово это. Например:
Определение. Отрезком называется часть прямой, ограничен ная двумя точками.
Определение. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны.
Свойства фигур формулируются в виде аксиом и теорем.
Аксиомами называются утверждения об основных свойствах простейших фигур, не вызывающие сомнений.
Аксиома — это утверждение, которое принимается без доказательства. Например:
Аксиома. Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и притом только одну.
Теоремами называются верные утверждения, справедливость которых устанавливается путем логических рассуждений, которые называются доказательством. Доказательство каждой теоремы опирается на аксиомы и ранее доказанные теоремы.
Теорема — это утверждение, которое требует доказательства. Например:
Теорема. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой.
