§ 19. Нахождение длины окружности и площади круга

Теорема. Длина окружности радиуса R находится по формуле C = 2πR.

Задача. Дана окружность, длина которой равна 12π см. Найдите площадь сектора круга, ограниченного окружностью, если угол сектора равен 40°.

Видеорешение

Задача. Длина окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равна 8π см. Найдите периметр треугольника.

Видеорешение

При вычислении длины дуги допустимы обе следующие записи:                       и 

Задача. Радиус круга равен 7 см. Площадь этого круга равна:

а) 14π см2;          б) 49π см2;           в) 7 см2;          г) 70 см2.

Видеорешение

Теорема. Площадь круга радиуса R находится по формуле S = πR2.

Задача. Радиус круга равен 5 см. Площадь этого круга равна:

а) 10π см2;          б) 5π см2;           в) 25 см2;          г) 50 см2.

Видеорешение

Длина окружности и площадь круга

Длина дуги окружности и площадь сектора круга

Сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, соединяющей концы радиусов. Радиус круга называется  радиусом сектора, указанная дуга — дугой сектора, центральный угол между радиусами, ограничивающими сектор, — углом  сектора.

Длина l дуги, содержащей n°, равна

При вычислении площади сектора допустимы обе следующие записи:                            и 

Длина дуги и площадь сектора прямо пропорциональны градусной мере дуги и угла сектора. Поэтому длина дуги так относится  к длине окружности, как градусная мер дуги относится к градусной мере окружности. Площадь сектора так относится к площади круга, как градусная мера угла сектора относится к градусной мере полного угла, т. е. справедливы пропорции

Замечание. В третьей пропорции lдуги — это длина дуги сектора.

Задача. Площадь круга равна 120 см2. Найдите площадь сектора с углом 90°.

а) 60 см2;           б) 40 см2;          в) 30 см2;           г) 90 см2.

Видеорешение

Задача. Около квадрата с диагональю, равной 12 см, описана окружность. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Видеорешение