§ 17. Числовые неравенства

Определение понятий «больше» и «меньше» для чисел

Число a больше числа b, если разность (a − b) — число положительное. Число a меньше числа b, если разность (a − b) — число отрицательное.

Знак «>» читается «больше».  Знак «<» читается «меньше».

a > b, если (a − b) — положительное число; если (a − b) — положительное число, то a > b

a < b, если (a − b) — отрицательное число; если (a − b) — отрицательное число, то a < b

Если  выражения  соединены  знаком «>»  или «<», то такая запись называется строгим неравенством. 

Знак «≥» читается «больше или равно», либо «не меньше», а  знак «≤» читается «меньше или равно», либо «не больше».

Если выражения соединены знаком «≥» или «≤», то такая запись называется нестрогим неравенством.

Положительное число больше нуля. a — положительное число, значит, a > 0.

Отрицательное число меньше нуля. a — отрицательное число, значит, a < 0

Свойства неравенств

1. Если a > b, то b < a.

2. Если к обеим частям неравенства прибавить какое-либо число, то знак неравенства не изменится, т. е. 

если a > b, то a + c > b + c.

3. Если обе части неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства не изменится, т. е. 

если a > b, c > 0, то ac > bc.

4. Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный, 

т. е. если a > b, c < 0, то ac < bc.

 ▪ Пример 1. Известно, что x < y — верное числовое неравенство. Запишите верное неравенство, которое получится, если обе части данного неравенства умножить на –5.

Видеорешение

5. Если a > b и b > c, то a > c.

 ▪ Пример 2. Известно, что m < n. Выберите верное неравенство:

а)       ;          б) m + 5 < n + 5;            в) –5m < – 5n;            г) m – 5 > n – 5. 

Видеорешение