Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число, не равное нулю, т. е.
bn+1 = bn · q, где n ∈ N, q ≠ 0.
Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии необходимо любой член прогрессии, кроме первого, разделить на предыдущий.
▪ Пример 1. В геометрической прогрессии (bn) известно, что b1 = 12, b2 = 6. Тогда:
а) q = 2; б) q = ; в) q = 24; г) q = −6.
Чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно задать ее первый член b1 и знаменатель q, т.е. bn+1 = bn · q.
Формула n-го члена геометрической прогрессии (bn) позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член, номер члена и знаменатель прогрессии bn = b1 · qn-1.
▪ Пример 2. Найдите четвертый член геометрической прогрессии (bn), если b1 = , q = −2.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
В геометрической прогрессии модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, т. е.
или
при n ≥ 2.
▪ Пример 3. В геометрической прогрессии (bn), все члены которой являются положительными членами, известно, что если b9 = 12,5, b11 = 2. Найдите b10.