§ 17. Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый  следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число, не равное нулю, т. е. bn+1 = bn · q, где n ∈ N, q ≠ 0.

Чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно задать ее первый член b1 и знаменатель q, т.е. bn+1 = bn · q.   

Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии необходимо любой член прогрессии, кроме первого, разделить на предыдущий.

Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Пример. В геометрической прогрессии (bn) известно, что b1 = 12, b2 = 6. Тогда:

а) q = 2;          б) q = 1/2;          в) q = 24;          г) q =  −6.

Видео решение

Пример. В геометрической прогрессии (bn), все члены которой являются положительными членами, известно, что если b9 = 12,5, b11 = 2. Найдите b10.

Видео решение

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии (bn) позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член, номер члена и знаменатель прогрессии bn = b1 · qn-1.

В геометрической прогрессии модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному  предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, т. е.

Пример. Найдите четвертый член геометрической прогрессии (bn), если b1/16, q =  −2.

Видео решение

или

при n ≥ 2.