§ 15. Линейные уравнения с одной переменной
Равенство с переменной называется уравнением.
Корнем уравнения называется значение переменной, которое обращает это уравнение в верное числовое равенство.
• не иметь корней (если a = 0, b ≠ 0, то 0 · x = b);
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Линейные уравнения
Уравнение вида ax = b, где a и b — числа, а x — переменная, называется линейным.
Линейное уравнение с одной переменной ax = b может:
• иметь единственный корень (если a ≠ 0, то x = b/a — корень уравнения);
• иметь бесконечно много корней (если a = 0, b = 0, то 0 · x = 0, то есть x — любое число).
Равносильные уравнения
• разделить (умножить) обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.
Чтобы получить уравнение,равносильное данному, можно:
• прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, т. е. перенести слагаемое из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
• выполнить тождественные преобразования в левой и правой частях уравнения.
Решение уравнений, сводящихся к линейным
Чтобы решить уравнение, сводящееся к линейному, можно:
1) Раскрыть скобки.
2) Привести подобные слагаемые.
3) Перенести слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без переменной — в другую.
Поменять знаки перенесенных слагаемых на противоположные!
4) Привести подобные слагаемые.
5) Решить полученное линейное уравнение.
Пример 4. Решите уравнение 4(3 − х) − 11 = 7(2х − 5).
Пример 1. Решите уравнение 11 − 3х = 1,9.
Пример 2. Решите уравнение 3х − 1 = 4х + 2.
Пример 3. Решите уравнение 5х − 2 = 6х + 1.