§ 15. Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, т. е. an + 1 = an + d, где n ∈ N, d ∈ R.
Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Из равенства an + 1 = an + d следует, что d = an + 1 − an.
Чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно задать ее первый член a1 и разность d.
Чтобы вычислить любой член арифметической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу n-го члена арифметической прогрессии аn = а1 + (n − 1)d.
▪ Пример 1. Первый член арифметической прогрессии равен 5, разность прогрессии равна 2. Второй член этой арифметической прогрессии равен:
а) 3; б) 7; в) 10; г) 2,5.
▪ Пример 2. Последовательность (an) — арифметическая прогрессия, а1 = 2, d = 2,5. Найдите 100-й член последовательности.
▪ Пример 3. Последовательность (an) — арифметическая прогрессия, а1 =3, d = 2,5. Является ли членом данной прогрессии число:
а) 168; б) 201.
▪ Пример 4. Найдите разность арифметической прогрессии 4; –2; –8; … .
▪ Пример 5. Запишите формулу n-го члена для арифметической прогрессии −15,5; −14,9; −14,3; ... и найдите ее 20-й член.
▪ Пример 6. В арифметической прогрессии а6 = 8, а10 = 16. Найдите разность прогрессии и ее первый член.
▪ Пример 7. В арифметической прогрессии а19 = 59, d = 3. Найдите а1, а15 и а23.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый еe член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:
▪ Пример 8. Найдите восьмой член арифметической прогрессии (an), если а7 = 21, а9 = 29.
▪ Пример 8. Найдите, при каком значении переменной, значения выражений х2 − 8; 5х + 3 и 3х + 6 будут являться последовательными членами арифметической прогрессии.
