§ 14. Разложение многочлена на множители
Разложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения одночлена и многочлена или произведения многочленов.
Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки
Вынести общий множитель за скобки — это значит представить данный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена.
Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно:
1) Определить общий множитель у всех членов многочлена.
2) Записать его и открыть скобку.
3) Разделить каждый член многочлена на множитель, записанный перед скобкой.
4) Записать сумму полученных результатов делениякаждого члена многочлена на одночлен и закрыть скобку.
Сколько слагаемых было до вынесения общего множителя за скобки, ровно столько же должно остаться в скобках после вынесения.
Пример 1. Вынесите общий множитель за скобки в выражении b3 − 2b.
Пример 2. Вынесите общий множитель за скобки в выражении 3у2 +15у.
Если общий множитель совпадает с одним из слагаемых, на месте этого слагаемого после вынесения общего множителя за скобки остается единица (+1 или −1).
Разложение многочлена на множители способом группировки
Некоторые многочлены можно разбить на группы членов, которые имеют общий множитель, и заключить их в скобки, т. е. сгруппировать.
Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:
1) Сгруппировать, т. е. заключить в скобки, члены многочлена, которые имеют общий множитель.
2) В каждой группе членов вынести за скобки общие множители.
3) Вынести за скобки общий множитель полученных произведений.
Пример 3. Разложите на множители многочлен 5mx – 4by + 4my – 5bx.
Члены многочлена можно группировать по-разному. Однако, не каждая группировка членов многочлена позволяет разложить его на множители.
Применение формул сокращенного умножения для разложения многочлена на множители
Если многочлен есть разность квадратов выражений, то он равен произведению суммы и разности этих выражений:
a2 − b2 = (a + b)(a − b).
Если многочлен — сумма трех выражений: квадрата одного выражения, квадрата другого и удвоенного произведения этих выражений — то этот многочлен равен квадрату суммы или разности этих выражений: a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2.
Пример 4. Разложите на множители многочлен –9 – 6a – a2.
Комбинации различных способов разложения многочленов на множители
При разложении многочленов на множители иногда приходится применять не один, а сразу несколько способов.
Пример 5. Разложите многочлен 25 – 4х2 + 4ху – у2.
