§ 14. Монотонность, промежутки знакопостоянства квадратичной функции

Промежутки монотонности квадратичной функции

Функция возрастает на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция убывает на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Промежутки убывания и возрастания функции называются промежутками монотонности функции.

В общем случае для функции f (x) = ax2 + bx + c:

▪ если a > 0 (ветви параболы направлены вверх), то функция убывает на промежутке (−∞; xв] и возрастает на промежутке [xв; +∞)

▪ если a < 0 (ветви параболы направлены вниз), то функция убывает на промежутке [xв; +∞) и возрастает на промежутке (−∞; xв]

 

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания квадратичной функции, нужно:

1) Определить абсциссу вершины параболы xв =     .

2) Определить знак первого коэффициента.

3) Заполнить таблицу изменения функции в зависимости от изменения значений аргумента.

4) Записать ответ:

если a > 0, то функция убывает на промежутке (−∞; xв] и возрастает на промежутке [xв; +∞);

 

если a < 0, то функция убывает на промежутке [xв; +∞) и возрастает на промежутке (−∞; xв].    

 ▪ Пример 1. Найдите промежутки монотонности квадратичной функции, заданной формулой у = 5х2 − 24х − 1.

Видеорешение

 ▪ Пример 2. Для квадратичной функции у = (5 − х)(х + 1) найдите множество значений и промежутки монотонности функции.

Видеорешение

Промежутки знакопостоянства квадратичной функции

Промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения, называются промежутками знакопостоянства функции.

Квадратичная функция принимает только положительные значения при всех значениях аргумента, так как при всех

x ∈ R график этой функции расположен выше оси абсцисс, т. е. y > 0 при x ∈ (−∞; +∞).

Квадратичная функция принимает только положительные значения при всех значениях аргумента, кроме x = xв, так как при всех x ≠ xв график функции расположен выше оси абсцисс. Значит, y > 0 при x ∈ (−∞; xв) ∪ (xв; +∞).

Квадратичная функция принимает положительные значения на промежутках (−∞; x1) и (x2; +∞), отрицательные значения — между нулями функции, т. е. на промежутке (x1; x2).

Квадратичная функция принимает только отрицательные значения при всех значениях аргумента, так как при всех x ∈ R график этой функции расположен ниже оси абсцисс, т. е. y < 0 при x ∈ (−∞; +∞).

Квадратичная функция принимает только отрицательные значения при всех значениях аргумента, кроме x = xв, так как при всех x ≠ xв график функции расположен ниже оси абсцисс. Значит, y < 0 при x ∈ (−∞; xв) ∪ (xв; +∞).

Квадратичная функция принимает положительные значения между нулями функции, т. е. на промежутке (x1; x2). Отрицательные значения эта функция принимает на промежутках (−∞; x1) и (x2; +∞).

 ▪ Пример 3. Найдите промежутки знакопостонства квадратичной функции, заданной формулой у = −х2 + 5х − 4.

Видеорешение