§ 13. Теорема косинусов

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е. 

 ▪ Задача 1. На рисунке изображен разносторонний треугольник. Выберите верное равенство:

а) c2 = a2 + b2 – 2ab · cos β;

б) b2 = a2 + c2 – 2ac · sin β;

в) b2  = a2 + c2 – 2ac · cos β;

г) a2 = b2 + c2 – 2bc · cos β.

Видеорешение

Следствие 1.Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, найти его углы (косинусы углов).

 ▪ Задача 2. Стороны треугольника равны 3 см, 7 см и 8 см. Найдите градусную меру среднего по величине угла треугольника. 

Видеорешение

Следствие 2. С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.

1) если b2 + c2 − a2 > 0, то cos α > 0 и угол α — острый;

2) если b2 + c2 − a2 < 0, то cos α < 0 и угол α — тупой;

3) если b2 + c2 − a2 = 0, то cos α = 0 и угол α — прямой.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.